Seja a transformação linear
\mathrm{T}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow P_{1}(t),
dada por \mathrm{T}(\mathrm{x}, \mathrm{y})=(2 \mathrm{x}+3 \mathrm{y})+(4 \mathrm{x}-\mathrm{y}) \mathrm{t}
onde t é variável do polinômio.
Verifique se esta transformação é bijetiva.

Passo 1

O enunciado fornece a transformação linear
\mathrm{T}: \mathbb{R}^{2}\to P_{1}(t)
definida por
\mathrm{T}(x,y)=(2x+3y)+(4x-y)\,t,
onde t é a variável do polinômio. A pergunta é: verificar se essa transformação é bijetiva (ou seja, injetiva e sobrejetiva).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • Domínio: \mathbb{R}^{2}.
  • Contradomínio: P_{1}(t), o espaço dos polinômios em t de grau no máximo 1.
  • Regra de correspondência: para cada par (x,y)\in\mathbb{R}^2, o polinômio associado é a+bt com a=2x+3y e b=4x-y.

Passo 2

O que significa ser bijetiva — explicando devagar e com exemplos:
  • Uma transformação é injetiva quando pontos diferentes do domínio dão imagens diferentes. Formalmente, \mathrm{T} é injetiva se
\mathrm{T}(u)=\mathrm{T}(v)\quad\Rightarrow\quad u=v.
Uma forma prática de testar injetividade para transformações lineares é verificar o núcleo: \ker(\mathrm{T})=\{v\mid \mathrm{T}(v)=0\}. Se \ker(\mathrm{T})=\{0\}, então \mathrm{T} é injetiva.
  • Uma transformação é sobrejetiva (ou sobre) quando a imagem é todo o contradomínio: \operatorname{Im}(\mathrm{T})=P_{1}(t). Para espaços vetoriais de dimensão finita, é útil lembrar que
\dim(\ker(\mathrm{T}))+\dim(\operatorname{Im}(\mathrm{T}))=\dim(\text{domínio}),í
isto é, o teorema do posto-nulidade (rank-nullity). Em particular, se a dimensão da imagem for igual à dimensão do contradomínio, então \mathrm{T} é sobrejetiva.
Observação prática: tanto \mathbb{R}^{2} quanto P_{1}(t) têm dimensão 2. Para transformações lineares entre espaços de mesma dimensão finita, vale a equivalência: injetiva ⇔ sobrejetiva ⇔ matriz associada é invertível.

Passo 3

Construindo a matriz de \mathrm{T} nas bases padrão (a forma mais direta para checar invertibilidade):
Escolhemos a base padrão de \mathbb{R}^{2}: e_{1}=(1,0), e_{2}=(0,1).
Escolhemos a base natural de P_{1}(t): \{1,t\}. Nessa base representamos um polinômio a+bt pelo vetor coluna \begin{pmatrix}a\\\ b\end{pmatrix}.
Calculemos as imagens das bases do domínio:
\mathrm{T}(1,0)= (2\cdot1+3\cdot0) + (4\cdot1-0)\,t = 2 + 4t,
então a primeira coluna da matriz é \begin{pmatrix}2\\\ 4\end{pmatrix} (coeficientes em relação a \{1,t\}).
\mathrm{T}(0,1)= (2\cdot0+3\cdot1) + (4\cdot0-1)\,t = 3 - 1 t,
então a segunda coluna da matriz é \begin{pmatrix}3\\\ -1\end{pmatrix}.
Logo a matriz que representa \mathrm{T} na base padrão é
A=\begin{pmatrix}2 & 3\\[4pt] 4 & -1\end{pmatrix},
e a ação sobre (x,y) corresponde a
\begin{pmatrix}a\\\ b\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}x\\\ y\end{pmatrix},
onde a=2x+3y e b=4x-y, exatamente como no enunciado.]

Passo 4

Verificando invertibilidade da matriz (checa injetividade e sobrejetividade):
Calculemos o determinante de A:
\det(A)=2\cdot(-1)-3\cdot4 = -2-12 = -14.
Como \det(A)=-14\neq 0, a matriz A é invertível.
Explicando o porquê disso garante bijetividade:
  • Para uma transformação linear representada por uma matriz quadrada, determinante não nulo ⇔ matriz invertível.
  • Matriz invertível ⇔ o único vetor v com A v=0 é v=0 \ker(\mathrm{T})=\{0\} \mathrm{T} é injetiva.
  • Além disso, porque \dim(\operatorname{Im}(\mathrm{T}))=\operatorname{rank}(A)=2=\dim(P_{1}(t)), a imagem é todo o espaço P_{1}(t), logo \mathrm{T} é sobrejetiva.
    Portanto, determinante não nulo implica simultaneamente injetividade e sobrejetividade.

Passo 5

Mostrando explicitamente a inversa (opcional, mas didático para ver que todo polinômio tem pré-imagem):
Fórmula da inversa de matriz 2\times2:
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\begin{pmatrix}d & -b\\\\ -c & a\end{pmatrix}
para A=\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}.
Aqui a=2, b=3, c=4, d=-1, então
A^{-1}=\frac{1}{-14}\begin{pmatrix}-1 & -3\\\\ -4 & 2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\tfrac{1}{14} & \tfrac{3}{14}\\[4pt] \tfrac{2}{7} & -\tfrac{1}{7}\end{pmatrix}.
Assim, dado qualquer polinômio p(t)=a+bt (vetor \begin{pmatrix}a\\\ b\end{pmatrix}), a pré-imagem (x,y) satisfaz
\begin{pmatrix}x\\\ y\end{pmatrix}=A^{-1}\begin{pmatrix}a\\\ b\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\tfrac{1}{14}a+\tfrac{3}{14}b\\[4pt]\tfrac{2}{7}a-\tfrac{1}{7}b\end{pmatrix},
mostrando de forma construtiva que qualquer polinômio a+bt tem exatamente uma preimage em \mathbb{R}^2.]

Passo 6

Conclusão final e incentivo:
  • Encontramos que a matriz associada tem determinante -14\neq0, logo é invertível.
  • Portanto \mathrm{T} tem núcleo trivial e imagem de dimensão 2, isto é, \mathrm{T} é injetiva e sobrejetiva.
    Parabéns — a transformação é bijetiva; sempre que vir uma transformação linear entre espaços de mesma dimensão finita, checar a matriz e seu determinante é um caminho rápido e seguro.

Resposta

Sim, \mathrm{T} é bijetiva.

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