Seja a transformação linear \mathrm{T}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow P_{1}(t),
dada por \mathrm{T}(\mathrm{x}, \mathrm{y})=(2 \mathrm{x}+3 \mathrm{y})+(4 \mathrm{x}-\mathrm{y}) \mathrm{t}
onde t é variável do polinômio.
Verifique se esta transformação é bijetiva.
Passo 1
O enunciado fornece a transformação linear
\mathrm{T}: \mathbb{R}^{2}\to P_{1}(t)
definida por
\mathrm{T}(x,y)=(2x+3y)+(4x-y)\,t,
onde t é a variável do polinômio. A pergunta é: verificar se essa transformação é bijetiva (ou seja, injetiva e sobrejetiva).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Domínio: \mathbb{R}^{2}.
Contradomínio: P_{1}(t), o espaço dos polinômios em t de grau no máximo 1.
Regra de correspondência: para cada par (x,y)\in\mathbb{R}^2, o polinômio associado é a+bt com a=2x+3y e b=4x-y.
Passo 2
O que significa ser bijetiva — explicando devagar e com exemplos:
Uma transformação é injetiva quando pontos diferentes do domínio dão imagens diferentes. Formalmente, \mathrm{T} é injetiva se
Uma forma prática de testar injetividade para transformações lineares é verificar o núcleo: \ker(\mathrm{T})=\{v\mid \mathrm{T}(v)=0\}. Se \ker(\mathrm{T})=\{0\}, então \mathrm{T} é injetiva.
Uma transformação é sobrejetiva (ou sobre) quando a imagem é todo o contradomínio: \operatorname{Im}(\mathrm{T})=P_{1}(t). Para espaços vetoriais de dimensão finita, é útil lembrar que
isto é, o teorema do posto-nulidade (rank-nullity). Em particular, se a dimensão da imagem for igual à dimensão do contradomínio, então \mathrm{T} é sobrejetiva.
Observação prática: tanto \mathbb{R}^{2} quanto P_{1}(t) têm dimensão 2. Para transformações lineares entre espaços de mesma dimensão finita, vale a equivalência: injetiva ⇔ sobrejetiva ⇔ matriz associada é invertível.
Passo 3
Construindo a matriz de \mathrm{T} nas bases padrão (a forma mais direta para checar invertibilidade):
Escolhemos a base padrão de \mathbb{R}^{2}: e_{1}=(1,0), e_{2}=(0,1).
Escolhemos a base natural de P_{1}(t): \{1,t\}. Nessa base representamos um polinômio a+bt pelo vetor coluna \begin{pmatrix}a\\\ b\end{pmatrix}.
onde a=2x+3y e b=4x-y, exatamente como no enunciado.]
Passo 4
Verificando invertibilidade da matriz (checa injetividade e sobrejetividade):
Calculemos o determinante de A:
\det(A)=2\cdot(-1)-3\cdot4 = -2-12 = -14.
Como \det(A)=-14\neq 0, a matriz A é invertível.
Explicando o porquê disso garante bijetividade:
Para uma transformação linear representada por uma matriz quadrada, determinante não nulo ⇔ matriz invertível.
Matriz invertível ⇔ o único vetor v com A v=0 é v=0 ⇔ \ker(\mathrm{T})=\{0\} ⇔ \mathrm{T} é injetiva.
Além disso, porque \dim(\operatorname{Im}(\mathrm{T}))=\operatorname{rank}(A)=2=\dim(P_{1}(t)), a imagem é todo o espaço P_{1}(t), logo \mathrm{T} é sobrejetiva.
Portanto, determinante não nulo implica simultaneamente injetividade e sobrejetividade.
Passo 5
Mostrando explicitamente a inversa (opcional, mas didático para ver que todo polinômio tem pré-imagem):
mostrando de forma construtiva que qualquer polinômio a+bt tem exatamente uma preimage em \mathbb{R}^2.]
Passo 6
Conclusão final e incentivo:
Encontramos que a matriz associada tem determinante -14\neq0, logo é invertível.
Portanto \mathrm{T} tem núcleo trivial e imagem de dimensão 2, isto é, \mathrm{T} é injetiva e sobrejetiva.
Parabéns — a transformação é bijetiva; sempre que vir uma transformação linear entre espaços de mesma dimensão finita, checar a matriz e seu determinante é um caminho rápido e seguro.