Dada a transformação \mathrm{T}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=(\mathrm{x}-\mathrm{z}, 2 \mathrm{x}+\mathrm{y}+3 \mathrm{z})
de \mathbb{R}^{3} em \mathbb{R}^{2}.
Encontre a dimensão do núcleo e a dimensão da imagem.

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear \mathrm{T}:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2} definida por
\mathrm{T}(\mathrm{x},\mathrm{y},\mathrm{z})=(\mathrm{x}-\mathrm{z},\;2\mathrm{x}+\mathrm{y}+3\mathrm{z}).
O que nos pedem é:
  • a dimensão do núcleo (ou seja, \dim\ker(\mathrm{T}));
  • a dimensão da imagem (ou seja, \dim\operatorname{Im}(\mathrm{T})).
Informações relevantes dadas:
  • Domínio tem dimensão 3 ( \mathbb{R}^{3}).
  • Contravaliações lineares explícitas das coordenadas da imagem em termos de \mathrm{x},\mathrm{y},\mathrm{z}.

Passo 2

Primeiro vamos escrever a transformação na forma matricial em relação às bases canônicas. Para um vetor (\mathrm{x},\mathrm{y},\mathrm{z})^{T} a imagem é obtida por multiplicação por uma matriz A de tamanho 2\times3. As componentes mostram os coeficientes em relação a \mathrm{x},\mathrm{y},\mathrm{z}:
  • primeira componente \mathrm{x}-\mathrm{z} corresponde à linha [1\;0\;-1];
  • segunda componente 2\mathrm{x}+\mathrm{y}+3\mathrm{z} corresponde à linha [2\;1\;3].
    Portanto a matriz associada é
A=\begin{pmatrix}1 & 0 & -1\\[4pt] 2 & 1 & 3\end{pmatrix}.]

Passo 3

Calcular o núcleo: \ker(\mathrm{T})=\{(\mathrm{x},\mathrm{y},\mathrm{z})\in\mathbb{R}^{3}\mid A(\mathrm{x},\mathrm{y},\mathrm{z})^{T}=\mathbf{0}\}\). Escrevendo o sistema homogêneo obtém-se as equações (mostrando passo a passo): \[\begin{cases} \mathrm{x}-\mathrm{z}=0,\\[4pt] 2\mathrm{x}+\mathrm{y}+3\mathrm{z}=0. \end{cases}
Da primeira equação temos \mathrm{z}=\mathrm{x}\]. Substituindo na segunda: \[2\mathrm{x}+\mathrm{y}+3\mathrm{x}=0\quad\Rightarrow\quad 5\mathrm{x}+\mathrm{y}=0.\] Logo \(\mathrm{y}=-5\mathrm{x}. Parametrizando por t=\mathrm{x} obtemos
(\mathrm{x},\mathrm{y},\mathrm{z})=t\,(1,-5,1),\qquad t\in\mathbb{R}.
Isto mostra que o núcleo é a reta gerada por (1,-5,1).]

Passo 4

Concluímos do passo anterior que \ker(\mathrm{T})=\operatorname{span}\{(1,-5,1)\}. Assim uma base do núcleo tem um único vetor, logo
\dim\ker(\mathrm{T})=1.
Vou explicar rapidamente: a dimensão do núcleo é o número de parâmetros independentes que restaram ao resolver A\mathbf{v}=0. Aqui sobrou um parâmetro t.

Passo 5

Calcular a dimensão da imagem (posto da matriz). Há duas maneiras simples: (i) mostrar que as linhas (ou colunas) de A são linearmente independentes até certo ponto; (ii) usar o teorema núcleo-imagem (rank-nullity). Vou fazer as duas (rápido) para ficar bem seguro.
Primeiro, verificação direta de que as duas linhas de A,
r_1=(1,0,-1),\qquad r_2=(2,1,3),
são linearmente independentes. Se existisse \lambda\in\mathbb{R} tal que r_2=\lambda r_1, então pela primeira componente teríamos \lambda=2, mas então a segunda componente daria 0\cdot\lambda=1, impossível. Portanto não existe \lambda e as duas linhas são independentes. Como há duas linhas independentes, o posto (rank) da matriz é 2.

Passo 6

Pelo teorema da dimensão (teorema do núcleo-imagem, rank-nullity) para uma transformação linear de \mathbb{R}^{3} vale
\dim\ker(\mathrm{T})+\dim\operatorname{Im}(\mathrm{T})=3.
Já encontramos \dim\ker(\mathrm{T})=1, e mostramos também que \operatorname{rank}(A)=2. Portanto
\dim\operatorname{Im}(\mathrm{T})=2.
Intuitivamente isso significa que a imagem é todo um subespaço de dimensão 2 em \mathbb{R}^{2}; sendo que \mathbb{R}^{2} tem dimensão 2, a imagem é de fato todo \mathbb{R}^{2} (isto é, \mathrm{T} é sobrejetora).

Resposta

dimensão do núcleo: 1
dimensão da imagem: 2

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