Dada a transformação
de
em
.
Encontre a dimensão do núcleo e a dimensão da imagem.
de
Encontre a dimensão do núcleo e a dimensão da imagem.
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear
definida por
O que nos pedem é:
- a dimensão do núcleo (ou seja,
); - a dimensão da imagem (ou seja,
).
Informações relevantes dadas:
- Domínio tem dimensão
( ). - Contravaliações lineares explícitas das coordenadas da imagem em termos de
.
Passo 2
Primeiro vamos escrever a transformação na forma matricial em relação às bases canônicas. Para um vetor
a imagem é obtida por multiplicação por uma matriz
de tamanho
. As componentes mostram os coeficientes em relação a
:
- primeira componente
corresponde à linha ; - segunda componente
corresponde à linha .
Portanto a matriz associada é
Passo 3
Calcular o núcleo:
Da primeira equação temos
. Parametrizando por
obtemos
Isto mostra que o núcleo é a reta gerada por
.]
Passo 4
Concluímos do passo anterior que
. Assim uma base do núcleo tem um único vetor, logo
Vou explicar rapidamente: a dimensão do núcleo é o número de parâmetros independentes que restaram ao resolver
. Aqui sobrou um parâmetro
.
Passo 5
Calcular a dimensão da imagem (posto da matriz). Há duas maneiras simples: (i) mostrar que as linhas (ou colunas) de
são linearmente independentes até certo ponto; (ii) usar o teorema núcleo-imagem (rank-nullity). Vou fazer as duas (rápido) para ficar bem seguro.
Primeiro, verificação direta de que as duas linhas de
,
são linearmente independentes. Se existisse
tal que
, então pela primeira componente teríamos
, mas então a segunda componente daria
, impossível. Portanto não existe
e as duas linhas são independentes. Como há duas linhas independentes, o posto (rank) da matriz é
.
Passo 6
Pelo teorema da dimensão (teorema do núcleo-imagem, rank-nullity) para uma transformação linear de
vale
Já encontramos
, e mostramos também que
. Portanto
Intuitivamente isso significa que a imagem é todo um subespaço de dimensão
em
; sendo que
tem dimensão
, a imagem é de fato todo
(isto é,
é sobrejetora).
Resposta
dimensão do núcleo:
dimensão da imagem:
dimensão da imagem: