Considere a Transformação linear T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}
dada por \mathrm{T}(\mathrm{x}, \mathrm{y})=(5 \mathrm{x}, 4 \mathrm{y}) e seja C o círculo unitário
em \mathbb{R}^{2},ou seja C=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ; x^{2}+y^{2}=1\right\}.
Determine a imagem de C por T .

Passo 1

O enunciado nos dá a transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 definida por
T(x,y)=(5x,4y),
e o círculo unitário
C=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x^2+y^2=1\}.
A pergunta é: determinar a imagem T\text{(C)}, isto é, descrever o conjunto de todos os pontos T(x,y) quando (x,y) percorre o círculo C.

Passo 2

Lembrete útil (definição): a imagem de um conjunto C pela transformação T é
T\text{(C)}=\{\,T(x,y)\mid (x,y)\in C\,\}.
Logo devemos pegar um ponto genérico (x,y) com x^2+y^2=1, aplicar T e descrever o conjunto dos resultados.

Passo 3

Abordagem paramétrica (intuitiva): parametrizamos o círculo unitário por
x=\cos t,\qquad y=\sin t,\qquad t\in[0,2\pi).
Aplicando T obtemos a parametrização da imagem:
T(\cos t,\sin t)=(5\cos t,\,4\sin t).
Isto mostra que a imagem é uma curva fechada cujo ponto genérico tem coordenadas (5\cos t,4\sin t). Geometricamente, é uma elipse centrada na origem com semi-eixos 5 (na direção x) e 4 (na direção y).

Passo 4

Abordagem algébrica (prova da equação cartesiana): seja (u,v) um ponto da imagem, então existem (x,y)\in C tais que
u=5x,\qquad v=4y,\qquad x^2+y^2=1.
Resolvendo para x,y em função de u,v obtemos x=\dfrac{u}{5} e y=\dfrac{v}{4}. Substituindo na equação do círculo:
\left(\frac{u}{5}\right)^2+\left(\frac{v}{4}\right)^2 = 1.
Portanto todo ponto (u,v) da imagem satisfaz essa equação, e reciprocamente, qualquer (u,v) que satisfaça essa equação corresponde a \left(\dfrac{u}{5},\dfrac{v}{4}\right) que está no círculo unitário, logo pertence a T\text{(C)}.

Passo 5

Interpretação geométrica e propriedades úteis:
  • A imagem T\text{(C)} é a elipse dada por \left(\dfrac{u}{5}\right)^2+\left(\dfrac{v}{4}\right)^2=1.
  • Centro da elipse: origem (0,0).
  • Semi-eixo na direção x: a=5 (comprimento total na direção x é 2a=10).
  • Semi-eixo na direção y: b=4 (comprimento total na direção y é 2b=8).
  • Não há rotação da elipse porque T é diagonal (escala separadamente as coordenadas).
  • Observação rápida de verificação: pontos do círculo como (1,0) e (0,1) vão para (5,0) e (0,4), que atendem à equação da elipse.

Resposta

T\text{(C)}=\left\{(u,v)\in\mathbb{R}^2 \mid \left(\frac{u}{5}\right)^2+\left(\frac{v}{4}\right)^2=1\right\}

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