Considere a Transformação linear
dada por
e seja C o círculo unitário
em
,ou seja
.
Determine a imagem de C por T .
dada por
em
Determine a imagem de C por T .
Passo 1
O enunciado nos dá a transformação linear
definida por
e o círculo unitário
A pergunta é: determinar a imagem
, isto é, descrever o conjunto de todos os pontos
quando
percorre o círculo
.
Passo 2
Lembrete útil (definição): a imagem de um conjunto
pela transformação
é
Logo devemos pegar um ponto genérico
com
, aplicar
e descrever o conjunto dos resultados.
Passo 3
Abordagem paramétrica (intuitiva): parametrizamos o círculo unitário por
Aplicando
obtemos a parametrização da imagem:
Isto mostra que a imagem é uma curva fechada cujo ponto genérico tem coordenadas
. Geometricamente, é uma elipse centrada na origem com semi-eixos
(na direção
) e
(na direção
).
Passo 4
Abordagem algébrica (prova da equação cartesiana): seja
um ponto da imagem, então existem
tais que
Resolvendo para
em função de
obtemos
e
. Substituindo na equação do círculo:
Portanto todo ponto
da imagem satisfaz essa equação, e reciprocamente, qualquer
que satisfaça essa equação corresponde a
que está no círculo unitário, logo pertence a
.
Passo 5
Interpretação geométrica e propriedades úteis:
- A imagem
é a elipse dada por . - Centro da elipse: origem
. - Semi-eixo na direção
: (comprimento total na direção é ). - Semi-eixo na direção
: (comprimento total na direção é ). - Não há rotação da elipse porque
é diagonal (escala separadamente as coordenadas). - Observação rápida de verificação: pontos do círculo como
e vão para e , que atendem à equação da elipse.