Seja a Transformação Linear. T:
definida por
.
a) Determine o núcleo da Transformação Linear.
b) Determine uma base para o núcleo se existir.
c) Determine a dimensão do núcleo.
d) Determine se a Transformação Linear é injetora ou não.
a) Determine o núcleo da Transformação Linear.
b) Determine uma base para o núcleo se existir.
c) Determine a dimensão do núcleo.
d) Determine se a Transformação Linear é injetora ou não.
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear
definida por
O que o problema pede:
a) Determinar o núcleo de (ou seja, o conjunto de vetores
tais que
).
b) Determinar uma base para o núcleo, se existir.
c) Determinar a dimensão do núcleo.
d) Dizer se é injetora ou não.
a) Determinar o núcleo de
b) Determinar uma base para o núcleo, se existir.
c) Determinar a dimensão do núcleo.
d) Dizer se
Passo 2
O núcleo de
é o conjunto de soluções do sistema homogêneo obtido ao igualar as componentes a zero. Escrevendo isso explicitamente temos o sistema
Vou resolver esse sistema por eliminação (método algébrico padrão para sistemas lineares) e parametrizar as soluções.]
Passo 3
Escrevo a matriz associada (sem coluna augmentada, pois é homogêneo):
que representa as equações em relação a
. Agora aplico operações elementares nas linhas para resolver.]
Passo 4
Faço a operação
. Calculando componente a componente:
A matriz fica
Divido a segunda linha por
para simplificar:
, obtendo
Passo 5
Agora uso a segunda linha para eliminar o
da primeira:
. Isso dá
A forma reduzida é
que corresponde ao sistema equivalente
Passo 6
Parametrizo as soluções escolhendo
como parâmetro livre. Seja
com
. Das equações obtemos
Portanto todo vetor no núcleo tem a forma
Em linguagem de subespaços:
Passo 7
Como o núcleo é o subespaço gerado por um único vetor não-nulo, uma base do núcleo é
. A dimensão do núcleo (nullidade) é
(há um parâmetro livre). Quanto à injetividade: uma transformação linear é injetora se, e somente se, seu núcleo for
. Aqui o núcleo contém vetores não-nulos (por exemplo
), logo
não é injetora.
Resposta
a)
.
b) Uma base do núcleo é .
c) .
d) não é injetora.
b) Uma base do núcleo é
c)
d)