Seja a transformação linear T: M_{2 \times 2} \longrightarrow \mathbb{R}^{3} definida por
T\left(\begin{array}{ll} a & b \\\ c & d \end{array}\right)=(a+b, c-d, 2 a) .
Determinar [T]_{B, C}, onde B=\left\{\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 0 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\\\ 0 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\\\ 1 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\\\ 0 & 1\end{array}\right)\right\} é a base canônica de M_{2 \times 2} e C=\{(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)\} é a base canônica de \mathbb{R}^{3}.
Passo 1
O enunciado pede a matriz da transformação linear T: M_{2\times2}\to\mathbb{R}^3 na base B do domínio e na base C do contradomínio. Dados importantes extraídos do enunciado:
A transformação é dada por
T\left(\begin{array}{ll}a & b \\[4pt] c & d\end{array}\right)=(a+b,\; c-d,\; 2a).
O que precisamos encontrar: a matriz [T]_{B,C}, isto é, a matriz cujas colunas são as coordenadas dos vetores T(E_{11}),T(E_{12}),T(E_{21}),T(E_{22}) em relação à base C.]
Passo 2
Calcular T aplicada a cada vetor da base B (isto é, imagens T(E_{ij})) usando a fórmula de T.
Para E_{11}: aqui a=1,b=0,c=0,d=0. Logo
T(E_{11})=(1+0,\;0-0,\;2\cdot1)=(1,0,2).
Para E_{12}: aqui a=0,b=1,c=0,d=0. Logo
T(E_{12})=(0+1,\;0-0,\;2\cdot0)=(1,0,0).
Para E_{21}: aqui a=0,b=0,c=1,d=0. Logo
T(E_{21})=(0+0,\;1-0,\;2\cdot0)=(0,1,0).
Para E_{22}: aqui a=0,b=0,c=0,d=1. Logo
T(E_{22})=(0+0,\;0-1,\;2\cdot0)=(0,-1,0).
Agora temos as imagens em coordenadas usuais (canônicas) de \mathbb{R}^3.
Passo 3
Explicar como obter coordenadas relativas à base C.
Para cada v\in\mathbb{R}^3 queremos encontrar coordenadas (\alpha,\beta,\gamma) tais que
v=\alpha v_1+\beta v_2+\gamma v_3.
Escrevendo em forma matricial, se
P=\big[\,v_1\; v_2\; v_3\,\big]
é a matriz cujas colunas são os vetores da base C em coordenadas canônicas, então as coordenadas de v em C são a solução da equação
Cada um desses vetores coluna é a coluna correspondente na matriz [T]_{B,C}, na ordem das colunas correspondente à ordem de B: E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}.]
Passo 6
Montar a matriz [T]_{B,C} com as coordenadas avaliadas: cada coluna é a coordenada de T do vetor da base de B em relação a C, na ordem encontrada.