Seja a transformação linear T: M_{2 \times 2} \longrightarrow \mathbb{R}^{3} definida por
T\left(\begin{array}{ll} a & b \\\ c & d \end{array}\right)=(a+b, c-d, 2 a) .
Determinar [T]_{B, C}, onde B=\left\{\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 0 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\\\ 0 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\\\ 1 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\\\ 0 & 1\end{array}\right)\right\} é a base canônica de M_{2 \times 2} e C=\{(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)\} é a base canônica de \mathbb{R}^{3}.

Passo 1

O enunciado pede a matriz da transformação linear T: M_{2\times2}\to\mathbb{R}^3 na base B do domínio e na base C do contradomínio. Dados importantes extraídos do enunciado:
  • A transformação é dada por
T\left(\begin{array}{ll}a & b \\[4pt] c & d\end{array}\right)=(a+b,\; c-d,\; 2a).
  • A base B de M_{2\times2} (base canônica) é
B=\left\{E_{11}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[2pt] 0 & 0\end{pmatrix},\; E_{12}=\begin{pmatrix}0 & 1 \\[2pt] 0 & 0\end{pmatrix},\; E_{21}=\begin{pmatrix}0 & 0 \\[2pt] 1 & 0\end{pmatrix},\; E_{22}=\begin{pmatrix}0 & 0 \\[2pt] 0 & 1\end{pmatrix}\right\}.
  • A base C de \mathbb{R}^3 é
C=\{v_1=(1,1,0),\; v_2=(1,0,1),\; v_3=(0,1,1)\}.
O que precisamos encontrar: a matriz [T]_{B,C}, isto é, a matriz cujas colunas são as coordenadas dos vetores T(E_{11}),T(E_{12}),T(E_{21}),T(E_{22}) em relação à base C.]

Passo 2

Calcular T aplicada a cada vetor da base B (isto é, imagens T(E_{ij})) usando a fórmula de T.
  • Para E_{11}: aqui a=1,b=0,c=0,d=0. Logo
T(E_{11})=(1+0,\;0-0,\;2\cdot1)=(1,0,2).
  • Para E_{12}: aqui a=0,b=1,c=0,d=0. Logo
T(E_{12})=(0+1,\;0-0,\;2\cdot0)=(1,0,0).
  • Para E_{21}: aqui a=0,b=0,c=1,d=0. Logo
T(E_{21})=(0+0,\;1-0,\;2\cdot0)=(0,1,0).
  • Para E_{22}: aqui a=0,b=0,c=0,d=1. Logo
T(E_{22})=(0+0,\;0-1,\;2\cdot0)=(0,-1,0).
Agora temos as imagens em coordenadas usuais (canônicas) de \mathbb{R}^3.

Passo 3

Explicar como obter coordenadas relativas à base C.
Para cada v\in\mathbb{R}^3 queremos encontrar coordenadas (\alpha,\beta,\gamma) tais que
v=\alpha v_1+\beta v_2+\gamma v_3.
Escrevendo em forma matricial, se
P=\big[\,v_1\; v_2\; v_3\,\big]
é a matriz cujas colunas são os vetores da base C em coordenadas canônicas, então as coordenadas de v em C são a solução da equação
P\begin{pmatrix}\alpha\\[4pt]\beta\\[4pt]\gamma\end{pmatrix}=v.
Aqui
P=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
Como C é base, P é invertível, então
\begin{pmatrix}\alpha\\[4pt]\beta\\[4pt]\gamma\end{pmatrix}=P^{-1}v.
Portanto, para cada T(E_{ij}) basta multiplicar por P^{-1} para obter a coluna correspondente de [T]_{B,C}.]

Passo 4

Calcular P^{-1} (mostrando passo a passo).
Calculemos o determinante de P:
\det(P)=\det\begin{pmatrix}1 & 1 & 0\\[4pt]1 & 0 & 1\\[4pt]0 & 1 & 1\end{pmatrix}=-2.
Como \det(P)\neq0, P é invertível. Vamos calcular a matriz adjunta (cofatores transposta) e dividir por \det(P).
Os cofatores (computados por menores) levam à matriz de cofatores
\text{cof}(P)=\begin{pmatrix} -1 & -1 & 1\\[4pt] -1 & 1 & -1\\[4pt] 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}.
A adjunta é a transposta dessa matriz:
\operatorname{adj}(P)=\begin{pmatrix} -1 & -1 & 1\\[4pt] -1 & 1 & 0\\[4pt] 1 & -1 & -1 \end{pmatrix}.
Portanto
P^{-1}=\frac{1}{\det(P)}\operatorname{adj}(P)=-\tfrac{1}{2}\operatorname{adj}(P).
Multiplicando, obtemos
P^{-1}=\begin{pmatrix} \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2}\\[6pt] \tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2} & 0\\[6pt] -\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} \end{pmatrix}.]

Passo 5

Calcular as coordenadas em C de cada imagem usando P^{-1}.
  • Para T(E_{11})=(1,0,2):
\begin{pmatrix}\alpha_1\\[4pt]\beta_1\\[4pt]\gamma_1\end{pmatrix} =P^{-1}\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \tfrac{1}{2}\cdot1+\tfrac{1}{2}\cdot0-\tfrac{1}{2}\cdot2\\[6pt] \tfrac{1}{2}\cdot1-\tfrac{1}{2}\cdot0+0\cdot2\\[6pt] -\tfrac{1}{2}\cdot1+\tfrac{1}{2}\cdot0+\tfrac{1}{2}\cdot2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-\tfrac{1}{2}\\[4pt]\tfrac{1}{2}\\[4pt]\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.
  • Para T(E_{12})=(1,0,0):
\begin{pmatrix}\alpha_2\\[4pt]\beta_2\\[4pt]\gamma_2\end{pmatrix} =P^{-1}\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\tfrac{1}{2}\\[4pt]\tfrac{1}{2}\\[4pt]-\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.
  • Para T(E_{21})=(0,1,0):
\begin{pmatrix}\alpha_3\\[4pt]\beta_3\\[4pt]\gamma_3\end{pmatrix} =P^{-1}\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\tfrac{1}{2}\\[4pt]-\tfrac{1}{2}\\[4pt]\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.
  • Para T(E_{22})=(0,-1,0):
\begin{pmatrix}\alpha_4\\[4pt]\beta_4\\[4pt]\gamma_4\end{pmatrix} =P^{-1}\begin{pmatrix}0\\[4pt]-1\\[4pt]0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-\tfrac{1}{2}\\[4pt]\tfrac{1}{2}\\[4pt]-\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.
Cada um desses vetores coluna é a coluna correspondente na matriz [T]_{B,C}, na ordem das colunas correspondente à ordem de B: E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}.]

Passo 6

Montar a matriz [T]_{B,C} com as coordenadas avaliadas: cada coluna é a coordenada de T do vetor da base de B em relação a C, na ordem encontrada.
Assim
[T]_{B,C}=\begin{pmatrix} -\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2}\\[6pt] \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2}\\[6pt] \tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2} \end{pmatrix}.]

Resposta

[T]_{B,C}=\begin{pmatrix} -\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2}\\[6pt] \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2}\\[6pt] \tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2} \end{pmatrix}]

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