Consideremos a transformação linear T: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}^{3} definida por T(x, y)=(2 x-y, x+3 y,-2 y). Determine a matriz de T com relação as seguintes bases B do \mathbb{R}^{2} e C do \mathbb{R}^{3}.
B=(1,1),(1,0) base do \mathbb{R}^{2} e C=\{(1,1,0),(1,1,1),(1,0,0)\} base do \mathbb{R}^{3}.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a matriz de T relativa à base B do domínio \mathbb{R}^2 e à base C do contradomínio \mathbb{R}^3.
Dados fornecidos:
T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3,\qquad T(x,y)=(2x-y,\;x+3y,\;-2y).
A base B de \mathbb{R}^2 é composta por
b_1=(1,1),\qquad b_2=(1,0).
A base C de \mathbb{R}^3 é composta por
c_1=(1,1,0),\qquad c_2=(1,1,1),\qquad c_3=(1,0,0).
O objetivo explícito: encontrar a matriz de T relativa a B (colunas indexadas pelos vetores de B) e a C (coordenadas das imagens expressas na base C).

Passo 2

Método (explicação didática do que faremos):
A matriz de T\) relativa às bases \(B\) e \(C\) é a matriz cujas colunas são as coordenadas de \(T(b_j)\) expressas na base \(C\). Ou seja, para cada \(j\) achamos escalares \(\alpha,\beta,\gamma\) tais que \[T(b_j)=\alpha c_1+\beta c_2+\gamma c_3.
Esses \alpha,\beta,\gamma formam a j-ésima coluna da matriz buscada.
Agora vejamos como obter \alpha,\beta,\gamma de forma geral. Seja um vetor qualquer v=(v_1,v_2,v_3)\in\mathbb{R}^3. Procuramos \alpha,\beta,\gamma com
\alpha(1,1,0)+\beta(1,1,1)+\gamma(1,0,0)=(v_1,v_2,v_3).
Somando componentes obtemos, componente a componente,
\begin{cases} v_1=\alpha+\beta+\gamma,\\[4pt] v_2=\alpha+\beta,\\[4pt] v_3=\beta. \end{cases}
Dessa sistemática extraímos fórmulas diretas:
\beta=v_3,\qquad \alpha=v_2-\beta=v_2-v_3,\qquad \gamma=v_1-\alpha-\beta=v_1-v_2.
Ou seja, as coordenadas de v\] na base \(C são
(\alpha,\beta,\gamma)=\big(v_2-v_3,\;v_3,\;v_1-v_2\big).]

Passo 3

Calcular T(b_1) com b_1=(1,1). Substituindo x=1,y=1 em T(x,y):
T(1,1)=(2\cdot1-1,\;1+3\cdot1,\;-2\cdot1)=(1,4,-2).

Passo 4

Expressar T(1,1)=(1,4,-2) na base C usando as fórmulas do passo anterior. Aqui v_1=1, v_2=4, v_3=-2. Então
\beta=v_3=-2,
\alpha=v_2-v_3=4-(-2)=6,
\gamma=v_1-v_2=1-4=-3.
Portanto as coordenadas de T(b_1) na base C são (6,-2,-3). Esta será a primeira coluna da matriz.

Passo 5

Calcular T(b_2) com b_2=(1,0). Substituindo x=1,y=0:
T(1,0)=(2\cdot1-0,\;1+3\cdot0,\;-2\cdot0)=(2,1,0).

Passo 6

Expressar T(1,0)=(2,1,0) na base C. Aqui v_1=2, v_2=1, v_3=0. Então
\beta=v_3=0,
\alpha=v_2-v_3=1-0=1,
\gamma=v_1-v_2=2-1=1.
Portanto as coordenadas de T(b_2) na base C são (1,0,1). Esta será a segunda coluna da matriz.

Passo 7

Montar a matriz de T relativa a B e C: colocamos as coordenadas de T(b_1) e T(b_2) (na ordem dos vetores de B) como colunas, na ordem das coordenadas correspondentes a (c_1,c_2,c_3). Assim a matriz é 3\times2 e suas colunas são (6,-2,-3)^\top e (1,0,1)^\top.

Resposta

\begin{pmatrix} 6 & 1\\[4pt] -2 & 0\\[4pt] -3 & 1 \end{pmatrix}]

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