Consideremos a transformação linear T: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}^{3} definida por T(x, y)=(2 x-y, x+3 y,-2 y). Determine a matriz de T com relação as seguintes bases B do \mathbb{R}^{2} e C do \mathbb{R}^{3}. B=(1,1),(1,0) base do \mathbb{R}^{2} e C=\{(1,1,0),(1,1,1),(1,0,0)\} base do \mathbb{R}^{3}.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a matriz de T relativa à base B do domínio \mathbb{R}^2 e à base C do contradomínio \mathbb{R}^3.
O objetivo explícito: encontrar a matriz de T relativa a B (colunas indexadas pelos vetores de B) e a C (coordenadas das imagens expressas na base C).
Passo 2
Método (explicação didática do que faremos):
A matriz de T\) relativa às bases \(B\) e \(C\) é a matriz cujas colunas são as coordenadas de \(T(b_j)\) expressas na base \(C\). Ou seja, para cada \(j\) achamos escalares \(\alpha,\beta,\gamma\) tais que
\[T(b_j)=\alpha c_1+\beta c_2+\gamma c_3.
Esses \alpha,\beta,\gamma formam a j-ésima coluna da matriz buscada.
Agora vejamos como obter \alpha,\beta,\gamma de forma geral. Seja um vetor qualquer v=(v_1,v_2,v_3)\in\mathbb{R}^3. Procuramos \alpha,\beta,\gamma com
Expressar T(1,0)=(2,1,0) na base C. Aqui v_1=2, v_2=1, v_3=0. Então
\beta=v_3=0,
\alpha=v_2-v_3=1-0=1,
\gamma=v_1-v_2=2-1=1.
Portanto as coordenadas de T(b_2) na base C são (1,0,1). Esta será a segunda coluna da matriz.
Passo 7
Montar a matriz de T relativa a B e C: colocamos as coordenadas de T(b_1) e T(b_2) (na ordem dos vetores de B) como colunas, na ordem das coordenadas correspondentes a (c_1,c_2,c_3). Assim a matriz é 3\times2 e suas colunas são (6,-2,-3)^\top e (1,0,1)^\top.