Seja
a diagonal do produto
, onde
é um espaço métrico. Se
, mostre que
.
Passo 1
O enunciado dá o seguinte: a diagonal do produto é
, onde
é um espaço métrico com distância
. Foi dado um ponto
; isto significa que
. A tarefa é mostrar que a distância de
até
é estritamente positiva, isto é,
.
Além disso, para tornar preciso o que é "distância em
", vou usar a métrica padrão do produto dada por
que é uma métrica habitual no produto de espaços métricos e define a topologia produto. (Usar essa métrica é natural aqui e resolve o problema; o enunciado implícito costuma assumir uma métrica produto desse tipo.)
Passo 2
Definição útil (lembrete didático): a distância de um ponto
a um conjunto
num espaço métrico é
onde “inf” é o ínfimo (menor limite inferior) das distâncias
quando
varia em
. O ínfimo é sempre um número
. Nosso objetivo é mostrar que esse ínfimo é maior que zero quando
.
Passo 3
Calcule a distância de
a um ponto arbitrário da diagonal, que tem a forma
com
. Pela definição da métrica produto escolhida,
Agora aplique a desigualdade triangular em
: para quaisquer pontos
vale
Note que
, então a desigualdade triangular pode ser reescrita como
Passo 4
A desigualdade do passo anterior vale para todo
. Portanto, ao tomar o ínfimo sobre todos os
obtemos
Isto mostra que
é pelo menos
.
Passo 5
Como
temos
, e pela propriedade de uma métrica
. Assim a desigualdade do passo anterior já garante
, o que prova que a distância é estritamente positiva.
Para ver que na verdade há igualdade (apenas como informação extra), escolha
. Então
logo o ínfimo não pode ser maior que
. Combinando com o passo 4 obtemos