Seja \triangle=\{(x, x) ; x \in M\} a diagonal do produto M \times M, onde M é um espaço métrico. Se z=(x, y) \notin \triangle, mostre que d(z, \triangle)>0.

Passo 1

O enunciado dá o seguinte: a diagonal do produto é \triangle=\{(x,x);\\ x\in M\}, onde M é um espaço métrico com distância d. Foi dado um ponto z=(x,y)\notin\triangle; isto significa que x\neq y. A tarefa é mostrar que a distância de z até \triangle é estritamente positiva, isto é, d(z,\triangle)>0.
Além disso, para tornar preciso o que é "distância em M\times M", vou usar a métrica padrão do produto dada por
D\big((u,v),(u',v')\big)=d(u,u')+d(v,v'),
que é uma métrica habitual no produto de espaços métricos e define a topologia produto. (Usar essa métrica é natural aqui e resolve o problema; o enunciado implícito costuma assumir uma métrica produto desse tipo.)

Passo 2

Definição útil (lembrete didático): a distância de um ponto z a um conjunto A num espaço métrico é
d(z,A)=\inf_{w\in A} D(z,w),
onde “inf” é o ínfimo (menor limite inferior) das distâncias D(z,w) quando w varia em A. O ínfimo é sempre um número \geq 0. Nosso objetivo é mostrar que esse ínfimo é maior que zero quando z=(x,y)\notin\triangle.

Passo 3

Calcule a distância de z=(x,y) a um ponto arbitrário da diagonal, que tem a forma (a,a) com a\in M. Pela definição da métrica produto escolhida,
D\big((x,y),(a,a)\big)=d(x,a)+d(y,a).
Agora aplique a desigualdade triangular em M: para quaisquer pontos x,a,y vale
d(x,y)\le d(x,a)+d(a,y).
Note que d(a,y)=d(y,a), então a desigualdade triangular pode ser reescrita como
d(x,y)\le d(x,a)+d(y,a)=D\big((x,y),(a,a)\big).

Passo 4

A desigualdade do passo anterior vale para todo a\in M. Portanto, ao tomar o ínfimo sobre todos os a\in M obtemos
d(x,y)\le \inf_{a\in M} D\big((x,y),(a,a)\big)=d\big((x,y),\triangle\big).
Isto mostra que d\big((x,y),\triangle\big) é pelo menos d(x,y).

Passo 5

Como z=(x,y)\notin\triangle temos x\neq y, e pela propriedade de uma métrica d(x,y)>0. Assim a desigualdade do passo anterior já garante d\big((x,y),\triangle\big)\ge d(x,y)>0, o que prova que a distância é estritamente positiva.
Para ver que na verdade há igualdade (apenas como informação extra), escolha a=y. Então
D\big((x,y),(y,y)\big)=d(x,y)+d(y,y)=d(x,y)+0=d(x,y),
logo o ínfimo não pode ser maior que d(x,y). Combinando com o passo 4 obtemos
d\big((x,y),\triangle\big)=d(x,y)>0.

Resposta

d\big((x,y),\triangle\big)=d(x,y)>0

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