Mostre que a métrica
é equivalente à métrica usual em
. (Sugestão: olhe o exercício 10).
Passo 1
O enunciado dá a métrica
em
. As informações relevantes são:
- A métrica usual em
é . - Queremos mostrar que
é equivalente à métrica usual — isto é, que as duas métricas geram a mesma topologia em . Em termos práticos, isso equivale a mostrar que a aplicação identidade
é contínua e que sua inversa (a identidade no outro sentido) também é contínua. Não vamos resolver nada ainda; só listei o que o problema dá e o que é pedido.
Passo 2
Uma observação útil (e o truque da prova) é escrever
como composição de uma função escalar com a métrica usual. Defina a função
Então, para todo
temos
Agora estudamos
. Note que:
-
é contínua em (é quociente de polinômios sem divisão por zero). -
é estritamente crescente, pois sua derivada para todo . -
e , portanto .
Por ser estritamente crescente e contínua,tem inversa contínua na imagem, dada resolvendo para :
Logo a inversa é
e é contínua em
.
Passo 3
Provar que
é contínua. Pegue um ponto qualquer
e seja
. Precisamos achar
tal que
Se
então
para todo
, então qualquer
serve (continuidade trivial). Se
, use a inversa
e defina
Como
é crescente, de
segue
Isso prova continuidade de
em
. Como
foi arbitrário,
é contínua em todo
.
Passo 4
Provar que a identidade no sentido inverso
é contínua. Novamente, tome
e
. Queremos
tal que
Escolha
Note que
. Se
então, aplicando
(que é crescente),
Logo a identidade no sentido inverso é contínua em
, e como
é arbitrário, é contínua em todo
.
Passo 5
Concluímos que a aplicação identidade entre os dois espaços métricos é contínua em ambos os sentidos; portanto as métricas
e
geram a mesma topologia em
. Em outras palavras, bolas abertas em uma métrica podem ser contidas por bolas apropriadas na outra métrica, e vice-versa — explicitamente:
e
Isto é prático para usar em provas de continuidade e convergência: uma sequência converge em
se e somente se converge em
.
Resposta
As métricas
e
são equivalentes em
.