Mostre que a métrica \alpha(x, y)=\frac{|x-y|}{1+|x-y|} é equivalente à métrica usual em \mathbb{R}. (Sugestão: olhe o exercício 10).

Passo 1

O enunciado dá a métrica
\alpha(x,y)=\frac{|x-y|}{1+|x-y|}
em \mathbb{R}. As informações relevantes são:
  1. A métrica usual em \mathbb{R} é d(x,y)=|x-y|.
  2. Queremos mostrar que \alpha é equivalente à métrica usual — isto é, que as duas métricas geram a mesma topologia em \mathbb{R}. Em termos práticos, isso equivale a mostrar que a aplicação identidade
\mathrm{id}:(\mathbb{R},d)\to(\mathbb{R},\alpha)
é contínua e que sua inversa (a identidade no outro sentido) também é contínua. Não vamos resolver nada ainda; só listei o que o problema dá e o que é pedido.

Passo 2

Uma observação útil (e o truque da prova) é escrever \alpha como composição de uma função escalar com a métrica usual. Defina a função
f:[0,\infty)\to[0,1),\qquad f(t)=\frac{t}{1+t}.
Então, para todo x,y\in\mathbb{R} temos
\alpha(x,y)=f\big(d(x,y)\big)=f\big(|x-y|\big).
Agora estudamos f. Note que:
  • f é contínua em [0,\infty) (é quociente de polinômios sem divisão por zero).
  • f é estritamente crescente, pois sua derivada f'(t)=\frac{1}{(1+t)^2}>0 para todo t\ge0.
  • f(0)=0 e \lim_{t\to\infty}f(t)=1, portanto f([0,\infty))=[0,1).
    Por ser estritamente crescente e contínua, f tem inversa contínua na imagem, dada resolvendo s=\dfrac{t}{1+t} para t:
t=\frac{s}{1-s}.
Logo a inversa é
f^{-1}:[0,1)\to[0,\infty),\qquad f^{-1}(s)=\frac{s}{1-s},
e é contínua em [0,1).

Passo 3

Provar que \mathrm{id}:(\mathbb{R},d)\to(\mathbb{R},\alpha) é contínua. Pegue um ponto qualquer x\in\mathbb{R} e seja \varepsilon>0. Precisamos achar \delta>0 tal que
d(x,y)<\delta \implies \alpha(x,y)<\varepsilon.
Se \varepsilon\ge1 então \alpha(x,y)<1\le\varepsilon para todo y, então qualquer \delta>0 serve (continuidade trivial). Se 0<\varepsilon<1, use a inversa f^{-1} e defina
\delta=f^{-1}(\varepsilon)=\frac{\varepsilon}{1-\varepsilon}.
Como f é crescente, de d(x,y)<\delta segue
\alpha(x,y)=f(d(x,y))<f(\delta)=\varepsilon.
Isso prova continuidade de \mathrm{id} em x. Como x foi arbitrário, \mathrm{id} é contínua em todo \mathbb{R}.

Passo 4

Provar que a identidade no sentido inverso \mathrm{id}:(\mathbb{R},\alpha)\to(\mathbb{R},d) é contínua. Novamente, tome x\in\mathbb{R} e \varepsilon>0. Queremos \delta>0 tal que
\alpha(x,y)<\delta \implies d(x,y)<\varepsilon.
Escolha
\delta=f(\varepsilon)=\frac{\varepsilon}{1+\varepsilon}.
Note que \delta\in(0,1). Se \alpha(x,y)<\delta então, aplicando f^{-1} (que é crescente),
d(x,y)=f^{-1}\big(\alpha(x,y)\big) < f^{-1}(\delta)=\varepsilon.
Logo a identidade no sentido inverso é contínua em x, e como x é arbitrário, é contínua em todo \mathbb{R}.

Passo 5

Concluímos que a aplicação identidade entre os dois espaços métricos é contínua em ambos os sentidos; portanto as métricas d e \alpha geram a mesma topologia em \mathbb{R}. Em outras palavras, bolas abertas em uma métrica podem ser contidas por bolas apropriadas na outra métrica, e vice-versa — explicitamente:
B_d(x,\delta)\subset B_\alpha(x,\varepsilon)\quad\text{com }\delta=\frac{\varepsilon}{1-\varepsilon}\\ (\varepsilon<1),
e
B_\alpha(x,\delta)\subset B_d(x,\varepsilon)\quad\text{com }\delta=\frac{\varepsilon}{1+\varepsilon}.
Isto é prático para usar em provas de continuidade e convergência: uma sequência converge em d se e somente se converge em \alpha.

Resposta

As métricas \alpha(x,y)=\dfrac{|x-y|}{1+|x-y|} e d(x,y)=|x-y| são equivalentes em \mathbb{R}.

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