Dê exemplo de conjuntos não vazios A e B tais que A \cap B=\emptyset e d(A, B)=0.

Passo 1

O enunciado pede um exemplo concreto de dois conjuntos não vazios A e B tais que A \cap B=\emptyset e d(A,B)=0.
Informações dadas/necessárias que vamos usar: \n
  • Queremos conjuntos não vazios. \n
  • Queremos que sejam disjuntos: A\cap B=\emptyset. \n
  • Queremos que a distância entre os conjuntos seja zero: d(A,B)=0. \n
  • Vou trabalhar no espaço \mathbb{R} com a métrica usual (distância euclidiana), ou seja, para x,y\in\mathbb{R} usamos |x-y|. \n

Passo 2

Definição importante (vamos aprender isso porque aparece direto em provas): \n
A distância entre dois conjuntos não vazios A,B\subset \mathbb{R} é definida por
d(A,B)=\inf\{\,|a-b| : a\in A,\; b\in B\,\}.
Expliquei cada parte: \n
  • |a-b| é a distância entre os pontos a e b no sentido usual. \n
  • \inf significa “ínfimo”: o menor valor limite possível dos elementos do conjunto de distâncias. Pode ser um mínimo (quando existe um par que alcança esse valor) ou apenas um valor limite que não é atingido. \n
    Na prática, para mostrar que d(A,B)=0 basta dar uma sequência de pares (a_n,b_n) com |a_n-b_n|\to 0, porque isso força o ínfimo a ser \le a qualquer limite desses valores; se a sequência tende a 0, então o ínfimo é 0.

Passo 3

Vou propor um exemplo simples e clássico em \mathbb{R}: \n
A=\{0\},\qquad B=\left\{\frac{1}{n} : n\in\mathbb{N}\right\}.
Aqui \mathbb{N}=\{1,2,3,\dots\}. Ambos os conjuntos são não vazios: A contém 0 e B contém, por exemplo, \tfrac{1}{1}=1. \n

Passo 4

Verificar que A e B são disjuntos: \n
Todo elemento de B tem a forma \tfrac{1}{n} com n\in\mathbb{N}, e \tfrac{1}{n}>0 para todo n. O único elemento de A é 0. Portanto nenhum elemento de B é igual a 0, ou seja,
A\cap B=\emptyset.
Isso mostra a condição de disjunção pedida. \n

Passo 5

Calcular as distâncias ponto a ponto e o ínfimo: \n
Para qualquer n\in\mathbb{N} calculamos a distância entre o ponto 0\in A e o ponto \tfrac{1}{n}\in B:
|0-\tfrac{1}{n}|=\tfrac{1}{n}.
Assim o conjunto de todas as distâncias entre pontos de A e B é exatamente \{\tfrac{1}{n}:n\in\mathbb{N}\}. O ínfimo desse conjunto é
\inf\{\tfrac{1}{n}:n\in\mathbb{N}\}=0,
porque a sequência \tfrac{1}{n} tende a 0 quando n\to\infty. Portanto, pela definição de d(A,B),
d(A,B)=0.

Passo 6

Explicação didática do porquê isso é curioso mas perfeitamente possível: \n
  • Ter d(A,B)=0 significa que existem pontos de A e B arbitrariamente próximos entre si (podemos escolher n grande e \tfrac{1}{n} vai ficar super perto de 0). \n
  • Isso não exige que exista um ponto comum; o ínfimo pode ser 0 sem que exista um par (a,b) com |a-b|=0. No nosso exemplo, o valor 0 não é alcançado por nenhum \tfrac{1}{n}, por isso A\cap B=\emptyset mesmo com d(A,B)=0. \n
    Isso é uma boa coisa para lembrar em provas: distância zero entre conjuntos não implica interseção não vazia, só implica que eles se aproximam arbitrariamente.

Passo 7

Um pequeno exercício extra (para fixar o conceito): \n
Troque A por \{0\} e B por \{1/n + 1 : n\in\mathbb{N}\}. O que acontece com d(A,B)? \n
Resposta rápida: |0-(1+1/n)| = 1+1/n e \inf_{n}(1+1/n)=1, logo d(A,B)=1. Assim você vê que sequências que não tendem a 0 dão distância positiva.

Resposta

A=\{0\},\quad B=\left\{\dfrac{1}{n}:n\in\mathbb{N}\right\}

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