Dê exemplo de conjuntos não vazios
e
tais que
e
.
Passo 1
O enunciado pede um exemplo concreto de dois conjuntos não vazios
e
tais que
e
.
Informações dadas/necessárias que vamos usar: \n
Informações dadas/necessárias que vamos usar: \n
- Queremos conjuntos não vazios. \n
- Queremos que sejam disjuntos:
. \n - Queremos que a distância entre os conjuntos seja zero:
. \n - Vou trabalhar no espaço
com a métrica usual (distância euclidiana), ou seja, para usamos . \n
Passo 2
Definição importante (vamos aprender isso porque aparece direto em provas): \n
A distância entre dois conjuntos não vazios é definida por
A distância entre dois conjuntos não vazios
Expliquei cada parte: \n
-
é a distância entre os pontos e no sentido usual. \n -
significa “ínfimo”: o menor valor limite possível dos elementos do conjunto de distâncias. Pode ser um mínimo (quando existe um par que alcança esse valor) ou apenas um valor limite que não é atingido. \n
Na prática, para mostrar quebasta dar uma sequência de pares com , porque isso força o ínfimo a ser a qualquer limite desses valores; se a sequência tende a , então o ínfimo é .
Passo 3
Vou propor um exemplo simples e clássico em
: \n
Aqui
. Ambos os conjuntos são não vazios:
contém
e
contém, por exemplo,
. \n
Passo 4
Verificar que
e
são disjuntos: \n
Todo elemento de tem a forma
com
, e
para todo
. O único elemento de
é
. Portanto nenhum elemento de
é igual a
, ou seja,
Todo elemento de
Isso mostra a condição de disjunção pedida. \n
Passo 5
Calcular as distâncias ponto a ponto e o ínfimo: \n
Para qualquer calculamos a distância entre o ponto
e o ponto
:
Para qualquer
Assim o conjunto de todas as distâncias entre pontos de
e
é exatamente
. O ínfimo desse conjunto é
porque a sequência
tende a
quando
. Portanto, pela definição de
,
Passo 6
Explicação didática do porquê isso é curioso mas perfeitamente possível: \n
- Ter
significa que existem pontos de e arbitrariamente próximos entre si (podemos escolher grande e vai ficar super perto de ). \n - Isso não exige que exista um ponto comum; o ínfimo pode ser
sem que exista um par com . No nosso exemplo, o valor não é alcançado por nenhum , por isso mesmo com . \n
Isso é uma boa coisa para lembrar em provas: distância zero entre conjuntos não implica interseção não vazia, só implica que eles se aproximam arbitrariamente.
Passo 7
Um pequeno exercício extra (para fixar o conceito): \n
Troque por
e
por
. O que acontece com
? \n
Resposta rápida: e
, logo
. Assim você vê que sequências que não tendem a
dão distância positiva.
Troque
Resposta rápida: