Seja o triângulo de vértices \mathrm{A}(2,-1,0), \mathrm{B}(-1,0,-1) e \mathrm{C}(0,1,2). Determinar o
  • Perímetro e verificar se o triângulo é retângulo. (vale 3 )

Passo 1

O enunciado dá os vértices do triângulo e pede duas coisas:
  • Calcular o perímetro.
  • Verificar se o triângulo é retângulo.
Pontos fornecidos (peguei estes do enunciado):
  • A(2,-1,0)
  • B(-1,0,-1)
  • C(0,1,2)

Passo 2

Vamos primeiro lembrar como calcular o comprimento de um segmento entre dois pontos em \mathbb{R}^3. Se P(x_1,y_1,z_1) e Q(x_2,y_2,z_2), então o vetor \overrightarrow{PQ}= (x_2-x_1,\;y_2-y_1,\;z_2-z_1) e o comprimento de PQ é
\lvert \overrightarrow{PQ}\rvert = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}.
Isto vem direto do Teorema de Pitágoras em 3D (distância euclidiana). Vamos aplicar isso para as três arestas.

Passo 3

Calcular o vetor \overrightarrow{AB}:
\overrightarrow{AB}=B-A = (-1-2,\;0-(-1),\;-1-0)=(-3,\;1,\;-1).
Calcular o vetor \overrightarrow{BC}:
\overrightarrow{BC}=C-B = (0-(-1),\;1-0,\;2-(-1))=(1,\;1,\;3).
Calcular o vetor \overrightarrow{CA}:
\overrightarrow{CA}=A-C = (2-0,\;-1-1,\;0-2)=(2,\;-2,\;-2).

Passo 4

Agora as normas (comprimentos) das arestas usando a fórmula da distância:
Para \overrightarrow{AB}:
\lvert \overrightarrow{AB}\rvert = \sqrt{(-3)^2+1^2+(-1)^2}=\sqrt{9+1+1}=\sqrt{11}.
Para \overrightarrow{BC}:
\lvert \overrightarrow{BC}\rvert = \sqrt{1^2+1^2+3^2}=\sqrt{1+1+9}=\sqrt{11}.
Para \overrightarrow{CA}:
\lvert \overrightarrow{CA}\rvert = \sqrt{2^2+(-2)^2+(-2)^2}=\sqrt{4+4+4}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}.
Observação simpática: duas arestas têm o mesmo comprimento \sqrt{11}, então o triângulo é isósceles (mas ainda precisamos checar se é retângulo).

Passo 5

Perímetro: somar os comprimentos das três arestas. Usando os resultados acima,
P=\lvert \overrightarrow{AB}\rvert+\lvert \overrightarrow{BC}\rvert+\lvert \overrightarrow{CA}\rvert=\sqrt{11}+\sqrt{11}+2\sqrt{3}=2\sqrt{11}+2\sqrt{3}.
Se quiser uma aproximação decimal (apenas para referência),
\sqrt{11}\approx3,3166,\qquad 2\sqrt{3}\approx3,4641,
portanto
P\approx 2\cdot3,3166 + 3,4641 \approx 10,0973.

Passo 6

Agora verificar se o triângulo é retângulo. Critério prático: um ângulo é reto se os vetores que formam esse ângulo são ortogonais, isto é, seu produto escalar é zero. Produto escalar de (u_1,u_2,u_3) e (v_1,v_2,v_3) é
u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3.
Testamos nos três vértices (usando vetores que partem do mesmo vértice):
No vértice A usamos \overrightarrow{AB}=(-3,1,-1) e \overrightarrow{AC}=C-A.
Calcular \overrightarrow{AC}:
\overrightarrow{AC}=C-A=(0-2,\;1-(-1),\;2-0)=(-2,\;2,\;2).
Produto escalar:
\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=(-3)(-2)+1\cdot2+(-1)\cdot2=6+2-2=6 \neq 0.
Logo o ângulo em A não é reto.
No vértice B usamos \overrightarrow{BA}= -\overrightarrow{AB}=(3,-1,1) e \overrightarrow{BC}=(1,1,3).
Produto escalar:
\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=3\cdot1+(-1)\cdot1+1\cdot3=3-1+3=5\neq 0.
Então o ângulo em B também não é reto.
No vértice C usamos \overrightarrow{CA}=(2,-2,-2) e \overrightarrow{CB}=B-C=(-1,-1,-3).
Produto escalar:
\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}=2(-1)+(-2)(-1)+(-2)(-3)=-2+2+6=6\neq 0.
Portanto o ângulo em C não é reto.
Como nenhuma das três combinações dá produto escalar zero, o triângulo NÃO é retângulo.

Resposta

Perímetro: 2\sqrt{11}+2\sqrt{3}\approx 10,0973
Triângulo retângulo: Não

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