Verificar se os vetores são crtogonais. (vale 1)
\vec{v}=(-1,5,4) e \vec{u}=(2,3,-3)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se os vetores são ortogonais. As informações dadas são:
  • \vec{v}=(-1,5,4)
  • \vec{u}=(2,3,-3)

Passo 2

Definição e ferramenta que vamos usar: dois vetores são ortogonais se, e somente se, o produto escalar (dot product) entre eles for zero.
A fórmula do produto escalar em \mathbb{R}^3 é a seguinte. Para \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3),
\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.
Aqui a_1,a_2,a_3 são as componentes de \vec{a} e b_1,b_2,b_3 são as componentes de \vec{b}. Se o resultado for 0, os vetores são ortogonais; se for diferente de 0, não são ortogonais.

Passo 3

Aplicar a fórmula aos vetores dados. Identificando componentes:
  • Para \vec{v}=(-1,5,4) temos v_1=-1, v_2=5, v_3=4.
  • Para \vec{u}=(2,3,-3) temos u_1=2, u_2=3, u_3=-3.
Calcular os produtos componentes a componente:
v_1u_1 = (-1)\cdot 2 = -2, \qquad v_2u_2 = 5\cdot 3 = 15, \qquad v_3u_3 = 4\cdot(-3) = -12.

Passo 4

Somar os resultados para obter o produto escalar:
\vec{v}\cdot\vec{u} = (-2) + 15 + (-12).
Fazendo as contas passo a passo:
(-2)+15 = 13, \qquad 13+(-12)=1.
Logo \vec{v}\cdot\vec{u}=1.

Passo 5

Interpretação do resultado: como \vec{v}\cdot\vec{u}=1\neq 0, os vetores não são ortogonais. Dica rápida para a prova: sempre calcule o produto escalar; se der zero, responda “são ortogonais”, caso contrário, “não são ortogonais”. Força aí — fez certinho até aqui!

Resposta

Não, não são ortogonais, pois \vec{v}\cdot\vec{u}=1\neq0.

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