Dado os vetores vec{v}=(2,3,-6) e vec{u}=(1,-2,4) (vale 1 )
determinar vec{w} tal que: 3(2 \vec{u}-3 \vec{w})=\vec{u}-\vec{v}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Vetores: \vec{v}=(2,3,-6) e \vec{u}=(1,-2,4).
  • Equação que relaciona \vec{u},\vec{v} e \vec{w}:
3\bigl(2\vec{u}-3\vec{w}\bigr)=\vec{u}-\vec{v}.
O que se pede: determinar o vetor \vec{w} que satisfaz essa equação.

Passo 2

Primeiro vamos usar as propriedades básicas de operações com vetores: multiplicação por escalar e distributividade. Multiplicar um vetor por um escalar significa multiplicar cada componente por esse escalar; somar vetores é somar componente a componente. Aplicando a multiplicação escalar e a distributividade em \;3\bigl(2\vec{u}-3\vec{w}\bigr)\; obtemos:
3\cdot 2\vec{u}-3\cdot 3\vec{w}=6\vec{u}-9\vec{w}.
Portanto a equação original fica
6\vec{u}-9\vec{w}=\vec{u}-\vec{v}.

Passo 3

Agora vamos isolar o termo com \vec{w}. Subtraímos 6\vec{u} dos dois lados para juntar os termos em \vec{u} do mesmo lado:
-9\vec{w}=\vec{u}-\vec{v}-6\vec{u}.
No lado direito podemos juntar os termos em \vec{u}: \vec{u}-6\vec{u}=-5\vec{u}. Assim:
-9\vec{w}=-5\vec{u}-\vec{v}.

Passo 4

Multiplicamos a equação por -1 para deixar o coeficiente de \vec{w} positivo:
9\vec{w}=5\vec{u}+\vec{v}.
Agora dividimos por 9 (isto é, multiplicamos por 1/9) para obter \vec{w}:
\vec{w}=\frac{1}{9}\bigl(5\vec{u}+\vec{v}\bigr).
Comentário didático: dividir um vetor por um escalar significa multiplicar cada componente por esse escalar; é uma operação válida porque os vetores formam um espaço vetorial.

Passo 5

Vamos calcular explicitamente 5\vec{u}. Usando \vec{u}=(1,-2,4) multiplica-se cada componente por 5:
5\vec{u}=(5\cdot 1,\;5\cdot(-2),\;5\cdot 4)=(5,-10,20).

Passo 6

Agora somamos 5\vec{u} com \vec{v}. Lembrando que \vec{v}=(2,3,-6), soma componente a componente:
5\vec{u}+\vec{v}=(5+2,\;-10+3,\;20+(-6))=(7,-7,14).
Observação: aqui usei explicitamente os valores de \vec{u} e \vec{v} fornecidos no enunciado.

Passo 7

Finalmente dividimos cada componente por 9 para obter \vec{w}:
\vec{w}=\frac{1}{9}(7,-7,14)=\Bigl(\frac{7}{9},-\frac{7}{9},\frac{14}{9}\Bigr).
Também é interessante notar que se preferir pode fatorar \frac{7}{9}:
\vec{w}=\frac{7}{9}(1,-1,2).

Resposta

\displaystyle \vec{w}=\Bigl(\frac{7}{9},-\frac{7}{9},\frac{14}{9}\Bigr)

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