( 1,0 ) Seja U um domínio em \mathbb{R}^{3}, f: U \subset \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathbb{R}^{3} de classe C^{1} e h: U \subset \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathbb{R} de classe C^{1}. Mostre que
Agora aplicamos a regra do produto para derivadas parciais (a mesma regra que você usa em uma função de uma variável, mas aqui aplicando em cada variável mantendo as outras fixas). Para cada i=1,2,3,
(Aqui um comentário prático rápido para fixar: se você prefere ver a demonstração de outra forma, dá para usar a matriz Jacobiana Df e a propriedade \operatorname{div}X=\operatorname{tr}(DX). Escrevendo D(hf)=h\,Df+f(\nabla h)^{T} e tomando traço obtém-se a mesma identidade porque \operatorname{tr}(f(\nabla h)^{T})=\langle\nabla h,f\rangle. Mas a prova componente-a-componente que fiz acima é suficiente e direta para a prova.)