( 1,0 ) Seja U um domínio em \mathbb{R}^{3}, f: U \subset \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathbb{R}^{3} de classe C^{1} e h: U \subset \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathbb{R} de classe C^{1}. Mostre que
\operatorname{div}(h f)=h \operatorname{div} f+\langle\nabla h, f\rangle .

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma igualdade explícita:
  • U é um domínio em \mathbb{R}^{3}.
  • f:U\subset\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} é de classe C^{1}.
  • h:U\subset\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R} é de classe C^{1}.
O que precisamos mostrar é a identidade
\operatorname{div}(h f)=h\,\operatorname{div}f+\langle\nabla h, f\rangle.

Passo 2

Primeiro vamos escrever as definições em componentes (é a forma mais direta). Seja
f=(f_{1},f_{2},f_{3}),
onde cada f_{i}=f_{i}(x_{1},x_{2},x_{3}) é C^{1}. Lembrando as definições:
  • A divergência de f é
\operatorname{div}f=\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}}+\frac{\partial f_{2}}{\partial x_{2}}+\frac{\partial f_{3}}{\partial x_{3}}.
  • O gradiente de h é
\nabla h=\left(\frac{\partial h}{\partial x_{1}},\frac{\partial h}{\partial x_{2}},\frac{\partial h}{\partial x_{3}}\right).
  • O produto interno \langle\nabla h, f\rangle é a soma componente a componente:
\langle\nabla h, f\rangle=\frac{\partial h}{\partial x_{1}}\,f_{1}+\frac{\partial h}{\partial x_{2}}\,f_{2}+\frac{\partial h}{\partial x_{3}}\,f_{3}.

Passo 3

Observe que o produto escalar de h por f é o vetor
h f=(h f_{1},h f_{2},h f_{3}).
Pela definição de divergência, temos
\operatorname{div}(h f)=\frac{\partial (h f_{1})}{\partial x_{1}}+\frac{\partial (h f_{2})}{\partial x_{2}}+\frac{\partial (h f_{3})}{\partial x_{3}}.

Passo 4

Agora aplicamos a regra do produto para derivadas parciais (a mesma regra que você usa em uma função de uma variável, mas aqui aplicando em cada variável mantendo as outras fixas). Para cada i=1,2,3,
\frac{\partial (h f_{i})}{\partial x_{i}}=\frac{\partial h}{\partial x_{i}}\,f_{i}+h\,\frac{\partial f_{i}}{\partial x_{i}}.
Isso é verdade porque h e f_{i} são C^{1}, então a derivada parcial do produto é soma dos produtos das derivadas parciais correspondentes.

Passo 5

Somando as três equações do passo anterior obtemos
\begin{aligned} \operatorname{div}(h f) &=\sum_{i=1}^{3}\left(\frac{\partial h}{\partial x_{i}}\,f_{i}+h\,\frac{\partial f_{i}}{\partial x_{i}}\right)\\[4pt] &=\underbrace{\sum_{i=1}^{3}h\,\frac{\partial f_{i}}{\partial x_{i}}}_{=\,h\,\operatorname{div}f} +\underbrace{\sum_{i=1}^{3}\frac{\partial h}{\partial x_{i}}\,f_{i}}_{=\,\langle\nabla h,f\rangle}. \end{aligned}
Reescrevendo, fica
\operatorname{div}(h f)=h\,\operatorname{div}f+\langle\nabla h,f\rangle,
que é exatamente o que queríamos demonstrar.]

Passo 6

(Aqui um comentário prático rápido para fixar: se você prefere ver a demonstração de outra forma, dá para usar a matriz Jacobiana Df e a propriedade \operatorname{div}X=\operatorname{tr}(DX). Escrevendo D(hf)=h\,Df+f(\nabla h)^{T} e tomando traço obtém-se a mesma identidade porque \operatorname{tr}(f(\nabla h)^{T})=\langle\nabla h,f\rangle. Mas a prova componente-a-componente que fiz acima é suficiente e direta para a prova.)

Resposta

\operatorname{div}(h f)=h\,\operatorname{div}f+\langle\nabla h,f\rangle.

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