Parametrize as seguintes curvas em
:
o segmento de reta ligando o ponto
ao ponto
, orientado de
para
.
Passo 1
O enunciado pede para parametrizar o segmento de reta que liga o ponto
ao ponto
em
, com orientação de
para
. Informações relevantes dadas:
A tarefa é apresentar uma função vetor
cujo traço (imagem) para um intervalo adequado de
é exatamente o segmento de reta de
a
, e tal que ao aumentar
nos movemos de
para
.
Passo 2
Conceito e fórmula padrão: uma forma muito usada para parametrizar o segmento entre
e
é a interpolação afim
com
variando em
. Aqui
é o vetor que aponta de
para
. Explicando cada termo:
-
é o ponto inicial (vetor posição de ). -
é o vetor direção do segmento (ele indica a direção e o comprimento relativos entre os pontos). -
escala esse vetor direção: dá e dá . Assim o intervalo percorre exatamente o segmento orientado de para .
Passo 3
Calcular o vetor direção
. Subtraímos as componentes correspondentes:
Componentes:
Logo
Passo 4
Montar a parametrização vetorial usando
:
Colocando em forma de componentes:
Simplificando a segunda componente (pois
):
Passo 5
Verificações importantes (para usar na prova e ganhar pontos):
- Endpoints:
dá . dá . Portanto o segmento é percorrido de para (orientação correta). - Um ponto médio:
dá , que é o ponto médio entre e (útil para checar respostas). - Derivada:
é constante, mostrando movimento em linha reta com velocidade constante (a não ser que se reparametrize).
Passo 6
Observação adicional (opcional, útil para prova): se quiser parametrização por comprimento (unit-speed), calcule o comprimento do vetor direção
Uma parametrização unitária em função do parâmetro
é
Mas para a maioria das respostas o parâmetro
já é o esperado.