Parametrize as seguintes curvas em mathbb{R}^{3} :
(0,5) o segmento de reta ligando o ponto A=(2,1,3) ao ponto B=(-1,1,-2), orientado de A para B.

Passo 1

O enunciado pede para parametrizar o segmento de reta que liga o ponto A=(2,1,3) ao ponto B=(-1,1,-2) em \mathbb{R}^{3}, com orientação de A para B. Informações relevantes dadas:
A=(2,1,3),\qquad B=(-1,1,-2).
A tarefa é apresentar uma função vetor r(t) cujo traço (imagem) para um intervalo adequado de t é exatamente o segmento de reta de A a B, e tal que ao aumentar t nos movemos de A para B.

Passo 2

Conceito e fórmula padrão: uma forma muito usada para parametrizar o segmento entre A e B é a interpolação afim
r(t)=A+t\,(B-A),
com t variando em [0,1]. Aqui B-A é o vetor que aponta de A para B. Explicando cada termo:
  • A é o ponto inicial (vetor posição de A).
  • B-A é o vetor direção do segmento (ele indica a direção e o comprimento relativos entre os pontos).
  • t escala esse vetor direção: t=0 r(0)=A e t=1 r(1)=B. Assim o intervalo t\in[0,1] percorre exatamente o segmento orientado de A para B.

Passo 3

Calcular o vetor direção B-A. Subtraímos as componentes correspondentes:
B-A = (-1,1,-2)-(2,1,3).
Componentes:
-1-2=-3,\qquad 1-1=0,\qquad -2-3=-5.
Logo
B-A = (-3,0,-5).

Passo 4

Montar a parametrização vetorial usando r(t)=A+t(B-A):
r(t) = (2,1,3) + t(-3,0,-5).
Colocando em forma de componentes:
r(t) = (\,2-3t,\;1+0t,\;3-5t\,).
Simplificando a segunda componente (pois 1+0t=1):
r(t) = (\,2-3t,\;1,\;3-5t\,).

Passo 5

Verificações importantes (para usar na prova e ganhar pontos):
  • Endpoints: t=0 r(0)=(2,1,3)=A. t=1 r(1)=(2-3,1,3-5)=(-1,1,-2)=B. Portanto o segmento é percorrido de A para B (orientação correta).
  • Um ponto médio: t=\tfrac{1}{2} r(\tfrac{1}{2})=(0{,}5,1,0{,}5), que é o ponto médio entre A e B (útil para checar respostas).
  • Derivada: r'(t)=(-3,0,-5) é constante, mostrando movimento em linha reta com velocidade constante (a não ser que se reparametrize).

Passo 6

Observação adicional (opcional, útil para prova): se quiser parametrização por comprimento (unit-speed), calcule o comprimento do vetor direção
\|B-A\|=\sqrt{(-3)^{2}+0^{2}+(-5)^{2}}=\sqrt{9+25}=\sqrt{34}.
Uma parametrização unitária em função do parâmetro s\in[0,\sqrt{34}] é
r(s)=A+\frac{s}{\sqrt{34}}(B-A)=\Bigl(2-\frac{3s}{\sqrt{34}},\;1,\;3-\frac{5s}{\sqrt{34}}\Bigr).
Mas para a maioria das respostas o parâmetro t\in[0,1] já é o esperado.

Resposta

r(t) = (\,2-3t,\;1,\;3-5t\,),\qquad t\in[0,1].

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