Considere as funções vetoriais
e
. Responda os itens abaixo, justificando sua resposta.
(a)
A curva
é uma curva regular (suave)? Obtenha o vetor velocidade de
em
;
(b)
Obtenha o comprimento de arco de
.
(c)
Mostre que a curva
não está parametrizada por comprimento de arco e obtenha uma reparametrização por comprimento de arco da curva
.
(d)
Faz sentido perguntarmos por
? Se sim, verifique se tal limite existe.
(e)
A função
dada por
é contínua?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
Enunciado e o que se pede. Temos as funções vetoriais
e a função extensão
As perguntas são:
(a) A curva é regular (suave)? Obtenha o vetor velocidade
.
(b) Obtenha o comprimento de arco de em
.
(c) Mostre que não está parametrizada por comprimento de arco e obtenha uma reparametrização por comprimento de arco.
(d) Faz sentido falar de ? Se sim, esse limite existe?
(e) A função é contínua?]
(a) A curva
(b) Obtenha o comprimento de arco de
(c) Mostre que
(d) Faz sentido falar de
(e) A função
Passo 2
Conceitos e ferramentas que vamos usar (explicação didática).
- Derivada componente a componente: se
então . A derivada de é ; de é ; de é . - Curva regular (também chamada de regularidade ou suave): dizemos que
é regular em um intervalo se existe, é contínua e para todo no intervalo. Intuitivamente: velocidade nunca nula. - Comprimento de arco: para
em ,
- Parametrização por comprimento de arco (ou unit-speed): uma parametrização por comprimento usa uma variável
tal que . Dado , se constante de sinal positivo, podemos inverter e definir .
Passo 3
Cálculo do vetor velocidade
e avaliação em
.
Derivando cada componente:
Derivando cada componente:
Portanto
Agora em
: usamos
e
. Assim
Como
, isso mostra velocidade não nula naquele ponto. Mas precisamos ver isso para todo
do intervalo, ver no próximo passo.
Passo 4
Norma da velocidade e regularidade da curva (conclusão).
Calculemos a norma :
Calculemos a norma
Usando
,
constante e estritamente positiva para todo
. Como
existe (é contínua, função trigonométrica polinomial) e
em todo o intervalo, concluímos que
é regular (suave). Também já temos o vetor velocidade em
do passo anterior.
Passo 5
Cálculo do comprimento de arco de
em
.
Usamos a fórmula
Usamos a fórmula
Como
é constante:
Passo 6
Mostrar que
não está parametrizada por comprimento de arco e obter reparametrização.
- Para ser parametrizada por comprimento de arco precisaríamos de
para todo . Mas já vimos . Logo não está parametrizada por comprimento de arco. - Construção da reparametrização: defina a função comprimento parcial (tomando
)
Como
, essa função é estritamente crescente e invertível. Inversa:
O intervalo original
corresponde a
Definimos então a reparametrização por comprimento de arco
, isto é
Simplificando
, obtemos
Verificação rápida que é unit-speed: derivando componente a componente,
e a norma satisfaz
Portanto
é uma reparametrização por comprimento de arco (unit-speed) da curva
.
Passo 7
Limite de
quando
. (Explicação didática e prova.)
A função tem duas componentes. Para o primeiro componente temos claramente
A função
Para a segunda componente usamos a desigualdade
. Assim
Como
, pelo teorema do confronto (squeeze theorem) obtemos
Como ambas as componentes tendem a
, o limite vetorial existe e é
Portanto faz sentido perguntar o limite e ele existe.
Passo 8
Continuidade de
.
A função coincide com
em
, e
é contínua em cada ponto
(composições de polinômios e seno). Em
temos definido
. Do passo anterior
. Logo
, ou seja,
é contínua em
. Assim
é contínua em todo
.
A função
Resposta
(a) Sim,
é regular (suave).
.
(b) Comprimento de arco .
(c) Não está parametrizada por comprimento de arco. Reparametrização por comprimento de arco:
(b) Comprimento de arco
(c) Não está parametrizada por comprimento de arco. Reparametrização por comprimento de arco:
(d) Faz sentido;
.
(e) Sim, é contínua.
(e) Sim,