Considere as funções vetoriais \alpha(t)=(\cos 2 t, \sin 2 t, 2 t), t \in[0, \pi / 2] e \gamma(t)=\left(t^{4}, t^{3} \sin \frac{1}{t}\right), t \in \mathbb{R}-\{0\}. Responda os itens abaixo, justificando sua resposta.
(a) (0,5) A curva \alpha é uma curva regular (suave)? Obtenha o vetor velocidade de \alpha em t=\pi / 4;
(b) (0,5) Obtenha o comprimento de arco de \alpha.
(c) (0,5) Mostre que a curva \alpha não está parametrizada por comprimento de arco e obtenha uma reparametrização por comprimento de arco da curva \alpha.
(d) (0,5) Faz sentido perguntarmos por \lim _{t \rightarrow 0} \gamma(t) ? Se sim, verifique se tal limite existe.
(e) (0,5) A função g: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}^{2} dada por
g(t)=\left\{\begin{array}{c} \gamma(t) \text { se } t \neq 0 \\\ (0,0) \text { se } t=0 \end{array}\right.
é contínua?

Passo 1

Enunciado e o que se pede. Temos as funções vetoriais
\alpha(t)=(\cos 2t,\;\sin 2t,\;2t),\quad t\in[0,\pi/2],
\gamma(t)=\left(t^{4},\;t^{3}\sin\frac{1}{t}\right),\quad t\in\mathbb{R}\setminus\{0\},
e a função extensão
g(t)=\begin{cases} \gamma(t), & t\neq0,\\[4pt] (0,0), & t=0. \end{cases}
As perguntas são:
(a) A curva \alpha é regular (suave)? Obtenha o vetor velocidade \alpha'(\pi/4).
(b) Obtenha o comprimento de arco de \alpha em [0,\pi/2].
(c) Mostre que \alpha não está parametrizada por comprimento de arco e obtenha uma reparametrização por comprimento de arco.
(d) Faz sentido falar de \lim_{t\to0}\gamma(t)? Se sim, esse limite existe?
(e) A função g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2 é contínua?]

Passo 2

Conceitos e ferramentas que vamos usar (explicação didática).
  • Derivada componente a componente: se \alpha(t)=(x(t),y(t),z(t)) então \alpha'(t)=(x'(t),y'(t),z'(t)). A derivada de \cos u(t) é -\sin u(t)\cdot u'(t); de \sin u(t) é \cos u(t)\cdot u'(t); de a t é a.
  • Curva regular (também chamada de regularidade ou suave): dizemos que \alpha é regular em um intervalo se \alpha' existe, é contínua e \|\alpha'(t)\|\neq0 para todo t no intervalo. Intuitivamente: velocidade nunca nula.
  • Comprimento de arco: para \alpha em [a,b],
L=\int_a^b \|\alpha'(t)\|\,dt.
  • Parametrização por comprimento de arco (ou unit-speed): uma parametrização por comprimento usa uma variável s tal que \|\beta'(s)\|=1. Dado s(t)=\int_{t_0}^t\|\alpha'(u)\|\,du, se \|\alpha'\|>0 constante de sinal positivo, podemos inverter s(t) e definir \beta(s)=\alpha(t(s)).

Passo 3

Cálculo do vetor velocidade \alpha'(t) e avaliação em t=\pi/4.
Derivando cada componente:
\frac{d}{dt}\cos 2t = -2\sin 2t,\qquad \frac{d}{dt}\sin 2t = 2\cos 2t,\qquad \frac{d}{dt}(2t)=2.
Portanto
\alpha'(t)=(-2\sin 2t,\;2\cos 2t,\;2).
Agora em t=\pi/4: usamos \sin(\pi/2)=1 e \cos(\pi/2)=0. Assim
\alpha'\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=(-2\cdot1,\;2\cdot0,\;2)=(-2,\,0,\,2).
Como \alpha'\!\left(\frac{\pi}{4}\right)\neq(0,0,0), isso mostra velocidade não nula naquele ponto. Mas precisamos ver isso para todo t do intervalo, ver no próximo passo.

Passo 4

Norma da velocidade e regularidade da curva (conclusão).
Calculemos a norma \|\alpha'(t)\|:
\|\alpha'(t)\|=\sqrt{(-2\sin 2t)^2+(2\cos 2t)^2+2^2} =\sqrt{4\sin^2 2t+4\cos^2 2t+4}.
Usando \sin^2 2t+\cos^2 2t=1,
\|\alpha'(t)\|=\sqrt{4\cdot1+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2},
constante e estritamente positiva para todo t\in[0,\pi/2]. Como \alpha' existe (é contínua, função trigonométrica polinomial) e \|\alpha'(t)\|\neq0 em todo o intervalo, concluímos que \alpha é regular (suave). Também já temos o vetor velocidade em t=\pi/4 do passo anterior.

Passo 5

Cálculo do comprimento de arco de \alpha em [0,\pi/2].
Usamos a fórmula
L=\int_{0}^{\pi/2}\|\alpha'(t)\|\,dt.
Como \|\alpha'(t)\|=2\sqrt{2} é constante:
L= \int_{0}^{\pi/2} 2\sqrt{2}\,dt = 2\sqrt{2}\left[\;t\;\right]_{0}^{\pi/2} =2\sqrt{2}\cdot\frac{\pi}{2}=\pi\sqrt{2}.

Passo 6

Mostrar que \alpha não está parametrizada por comprimento de arco e obter reparametrização.
  • Para ser parametrizada por comprimento de arco precisaríamos de \|\alpha'(t)\|=1 para todo t. Mas já vimos \|\alpha'(t)\|=2\sqrt{2}\neq1. Logo não está parametrizada por comprimento de arco.
  • Construção da reparametrização: defina a função comprimento parcial (tomando t_0=0)
s(t)=\int_{0}^{t}\|\alpha'(u)\|\,du=\int_{0}^{t}2\sqrt{2}\,du=2\sqrt{2}\,t.
Como 2\sqrt{2}>0, essa função é estritamente crescente e invertível. Inversa:
t(s)=\frac{s}{2\sqrt{2}}.
O intervalo original t\in[0,\pi/2] corresponde a
s\in\left[0,\;2\sqrt{2}\cdot\frac{\pi}{2}\right]=[0,\pi\sqrt{2}].
Definimos então a reparametrização por comprimento de arco \beta(s)=\alpha(t(s)), isto é
\beta(s)=\left(\cos\!\left(2\cdot\frac{s}{2\sqrt{2}}\right),\; \sin\!\left(2\cdot\frac{s}{2\sqrt{2}}\right),\; 2\cdot\frac{s}{2\sqrt{2}}\right).
Simplificando 2\cdot\frac{s}{2\sqrt{2}}=\frac{s}{\sqrt{2}}, obtemos
\beta(s)=\left(\cos\!\left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right),\; \sin\!\left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right),\; \frac{s}{\sqrt{2}}\right),\quad s\in[0,\pi\sqrt{2}].
Verificação rápida que é unit-speed: derivando componente a componente,
\beta'(s)=\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\sin\!\left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right),\; \frac{1}{\sqrt{2}}\cos\!\left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right),\; \frac{1}{\sqrt{2}}\right),
e a norma satisfaz
\|\beta'(s)\|=\sqrt{\frac{1}{2}\sin^2\!\left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right)+\frac{1}{2}\cos^2\!\left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right)+\frac{1}{2}} =\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}=1.
Portanto \beta é uma reparametrização por comprimento de arco (unit-speed) da curva \alpha.

Passo 7

Limite de \gamma(t) quando t\to0. (Explicação didática e prova.)
A função \gamma(t)=(t^4,\;t^3\sin(1/t)) tem duas componentes. Para o primeiro componente temos claramente
\lim_{t\to0} t^4 = 0.
Para a segunda componente usamos a desigualdade |\sin(1/t)|\le1. Assim
|t^3\sin(1/t)|\le |t^3|.
Como \lim_{t\to0}|t^3|=0, pelo teorema do confronto (squeeze theorem) obtemos
\lim_{t\to0} t^3\sin(1/t)=0.
Como ambas as componentes tendem a 0, o limite vetorial existe e é
\lim_{t\to0}\gamma(t)=(0,0).
Portanto faz sentido perguntar o limite e ele existe.

Passo 8

Continuidade de g.
A função g coincide com \gamma em t\neq0, e \gamma é contínua em cada ponto t\neq0 (composições de polinômios e seno). Em t=0 temos definido g(0)=(0,0). Do passo anterior \lim_{t\to0}\gamma(t)=(0,0)=g(0). Logo \lim_{t\to0}g(t)=g(0), ou seja, g é contínua em 0. Assim g é contínua em todo \mathbb{R}.

Resposta

(a) Sim, \alpha é regular (suave). \alpha'\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=(-2,\,0,\,2).
(b) Comprimento de arco L=\pi\sqrt{2}.
(c) Não está parametrizada por comprimento de arco. Reparametrização por comprimento de arco:
\beta(s)=\left(\cos\!\left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right),\;\sin\!\left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right),\;\frac{s}{\sqrt{2}}\right),\quad s\in[0,\pi\sqrt{2}].
(d) Faz sentido; \displaystyle\lim_{t\to0}\gamma(t)=(0,0).
(e) Sim, g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2 é contínua.

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