Seja U um espaço vetorial sobre \mathbb{R} e seja I o operador idêntico de U. Dadas as bases B e C de U, o que é (I)_{B, C} ?
Escolha uma opção:
◯ a. Matriz mudança de base da base B para a base C.
◯ b. Matriz mudança de base da base C para a base B.
◯ c. Matriz Identidade
◯ d. Matriz nula

Passo 1

O enunciado dá:
  • U é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}.
  • I:U\to U é o operador identidade.
  • B e C são bases de U.
    A pergunta é: o que representa (I)_{B,C}? (Escolher entre as opções a, b, c ou d.)

Passo 2

Vamos entender o que significa a notação (T)_{B,C} para um operador linear T:U\to U.
  • Seja B=(b_1,\dots,b_n) a base do domínio e C=(c_1,\dots,c_n) a base do contradomínio.
  • A matriz (T)_{B,C} é a matriz A cujo j-ésimo vetor coluna é o vetor de coordenadas de T(b_j) em relação à base C.
    Em símbolos:
(T)_{B,C} = \big([T(b_1)]_C\\ \\ [T(b_2)]_C\\ \\ \cdots\\ \\ [T(b_n)]_C\big),
onde [T(b_j)]_C é a coluna com as coordenadas de T(b_j) na base C.

Passo 3

Aplique isso ao operador identidade I.
  • Para cada vetor da base B vale I(b_j)=b_j.
  • Logo a j-ésima coluna de (I)_{B,C} é [b_j]_C, ou seja, as coordenadas do vetor b_j expressas na base C.
    Portanto
(I)_{B,C} = \big([b_1]_C\\ \\ [b_2]_C\\ \\ \cdots\\ \\ [b_n]_C\big).

Passo 4

Interpretação prática (como usar na prova):
  • Se v\in U tem coordenadas [v]_B na base B, então as coordenadas desse mesmo v na base C são dadas por
[v]_C = (I)_{B,C}\,[v]_B.
  • Assim (I)_{B,C} é exatamente a matriz de mudança de coordenadas que transforma coordenadas em B para coordenadas em C. Em notação comum essa matriz é chamada de matriz de mudança de base de B para C.

Passo 5

Observações finais e casos especiais:
  • Se B=C então cada [b_j]_C é a coluna canônica com um 1 na posição j, então (I)_{B,B} é a matriz identidade.
  • Se B\neq C a matriz geralmente não é a identidade nem a nula; é a matriz cujas colunas são as coordenadas de vetores de B na base C.

Resposta

a. Matriz mudança de base da base B para a base C.

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