Seja
um espaço vetorial sobre
e seja
o operador idêntico de
. Dadas as bases
e
de
, o que é
?
Escolha uma opção:
◯ a. Matriz mudança de base da base B para a base C.
◯ b. Matriz mudança de base da base C para a base B.
◯ c. Matriz Identidade
◯ d. Matriz nula
◯ a. Matriz mudança de base da base B para a base C.
◯ b. Matriz mudança de base da base C para a base B.
◯ c. Matriz Identidade
◯ d. Matriz nula
Passo 1
O enunciado dá:
-
é um espaço vetorial sobre . -
é o operador identidade. -
e são bases de .
A pergunta é: o que representa? (Escolher entre as opções a, b, c ou d.)
Passo 2
Vamos entender o que significa a notação
para um operador linear
.
- Seja
a base do domínio e a base do contradomínio. - A matriz
é a matriz cujo -ésimo vetor coluna é o vetor de coordenadas de em relação à base .
Em símbolos:
onde
é a coluna com as coordenadas de
na base
.
Passo 3
Aplique isso ao operador identidade
.
- Para cada vetor da base
vale . - Logo a
-ésima coluna de é , ou seja, as coordenadas do vetor expressas na base .
Portanto
Passo 4
Interpretação prática (como usar na prova):
- Se
tem coordenadas na base , então as coordenadas desse mesmo na base são dadas por
- Assim
é exatamente a matriz de mudança de coordenadas que transforma coordenadas em para coordenadas em . Em notação comum essa matriz é chamada de matriz de mudança de base de para .
Passo 5
Observações finais e casos especiais:
- Se
então cada é a coluna canônica com um na posição , então é a matriz identidade. - Se
a matriz geralmente não é a identidade nem a nula; é a matriz cujas colunas são as coordenadas de vetores de na base .
Resposta
a. Matriz mudança de base da base B para a base C.