Assinale as alternativas corretas referente a aplicação linear T: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{3} dada por
T(1,2,3,4)=(6,-1,-2) ; T(0,1,2,3)=(3,-1,-2) ; T(0,0,-3,-2)=(-3,0,3) \text { e } T(0,0,0,5)=(0,0,0) .

Obs: Cada alternativa assinalada errada, cancelará uma certa!

Escolha uma ou mais:
□ a) T(x, y, z)=(x+y+z, x-y, x-z)
□ b) T(x, y, z)=\left(\frac{x+y+z}{3}, \frac{x-2 y+z}{3}, \frac{x+y-2 z}{3}\right)
□ c) T(x, y, z)=(x+y+z, x-y, x-z, x-y-z)
□ d) T(x, y, z, w)=(x+y+z, x-y, x-z)
□ e) T(x, y, z, w)=(x+y+z+w, x-y, x-z, x-w)
□ f) T(x, y, z, w)=\left(\frac{x+y+z+w}{4}, \frac{x-3 y+z+w}{4}, \frac{x+y-3 z+w}{4}, \frac{x+y+z-3 w}{4}\right)
□ g) T(x, y, z, w)=(x+y+z+w, x-y, x-z)
□ h) \boldsymbol{T}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}, \boldsymbol{z}, \boldsymbol{w})=(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}+\boldsymbol{z}+\boldsymbol{w}, \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}, \boldsymbol{z}+\boldsymbol{w},-\boldsymbol{x}-y-z-w)
□ i) \quad T(x, y, z, w)=(x+y, y+z, z+w, w)
□ j) \quad T(x, y, z, w)=(x-y+z-w, y-z+w, z-w, w)
□ k) ÉInjetora
□ l) Não é Injetora
□ m) É Sobrejetora
□ n) Não é Sobrejetora
□ o) É Bijetora
□ p) Não é Bijetora
□ q) T^{-1}(a, b, c)=\left(\frac{a+b+c}{3}, \frac{a-2 b+c}{3}, \frac{a+b-2 c}{3}\right)
□ r) \quad T^{-1}(a, b, c, d)=\left(\frac{a+b+c+d}{4}, \frac{a-3 b+c+d}{4}, \frac{a+b-3 c+d}{4}, \frac{a+b+c-3 d}{4}\right)
□ 5) T^{-1}(a, b, c, d)=(a-b+c-d, b-c+d, c-d, d)
□ t) Não tem inversa

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^3 e nos fornece os valores de T em quatro vetores:
  • T(1,2,3,4)=(6,-1,-2).
  • T(0,1,2,3)=(3,-1,-2).
  • T(0,0,-3,-2)=(-3,0,3).
  • T(0,0,0,5)=(0,0,0).
O que se pede implicitamente (pelas alternativas) é:
  • Determinar a fórmula explícita de T em termos das coordenadas (x,y,z,w).
  • Usar essa fórmula (e/ou propriedades da transformação) para decidir quais alternativas da lista são corretas (sobre fórmulas dadas, injetividade, sobrejetividade, existência de inversa etc.).
Vou então extrair das quatro igualdades acima as informações necessárias para encontrar T em qualquer vetor (x,y,z,w).

Passo 2

Estratégia para obter T em qualquer vetor: escrever os vetores dados como combinações lineares dos vetores canônicos \mathbf{e}_1=(1,0,0,0), \mathbf{e}_2=(0,1,0,0), \mathbf{e}_3=(0,0,1,0), \mathbf{e}_4=(0,0,0,1) e usar linearidade de T. As combinações que aparecem no enunciado são:
  • (1,2,3,4)=\mathbf{e}_1+2\mathbf{e}_2+3\mathbf{e}_3+4\mathbf{e}_4.
  • (0,1,2,3)=\mathbf{e}_2+2\mathbf{e}_3+3\mathbf{e}_4.
  • (0,0,-3,-2)=-3\mathbf{e}_3-2\mathbf{e}_4.
  • (0,0,0,5)=5\mathbf{e}_4.
A partir daí vamos encontrar T(\mathbf{e}_1),T(\mathbf{e}_2),T(\mathbf{e}_3),T(\mathbf{e}_4). Esses quatro vetores determinam completamente T.

Passo 3

Da última igualdade temos T(0,0,0,5)=5\,T(\mathbf{e}_4)=(0,0,0). Como 5\neq0, segue
T(\mathbf{e}_4)=(0,0,0).

Passo 4

Da terceira igualdade T(0,0,-3,-2)= -3\,T(\mathbf{e}_3)-2\,T(\mathbf{e}_4)=(-3,0,3).
Como já sabemos T(\mathbf{e}_4)=(0,0,0), temos
-3\,T(\mathbf{e}_3)=(-3,0,3),
logo
T(\mathbf{e}_3)=\left(-\tfrac{1}{3}\right)(-3,0,3)=(1,0,-1).

Passo 5

Da segunda igualdade T(0,1,2,3)=T(\mathbf{e}_2)+2T(\mathbf{e}_3)+3T(\mathbf{e}_4)=(3,-1,-2).
Usando T(\mathbf{e}_3)=(1,0,-1) e T(\mathbf{e}_4)=(0,0,0) obtemos
T(\mathbf{e}_2)+2(1,0,-1)=(3,-1,-2).
Portanto
T(\mathbf{e}_2)=(3,-1,-2)-2(1,0,-1)=(3,-1,-2)-(2,0,-2)=(1,-1,0).

Passo 6

Da primeira igualdade T(1,2,3,4)=T(\mathbf{e}_1)+2T(\mathbf{e}_2)+3T(\mathbf{e}_3)+4T(\mathbf{e}_4)=(6,-1,-2).
Substituindo T(\mathbf{e}_2)=(1,-1,0), T(\mathbf{e}_3)=(1,0,-1) e T(\mathbf{e}_4)=(0,0,0) temos
T(\mathbf{e}_1)+2(1,-1,0)+3(1,0,-1)=(6,-1,-2).
Calcule 2(1,-1,0)=(2,-2,0) e 3(1,0,-1)=(3,0,-3). A soma dá (5,-2,-3). Assim
T(\mathbf{e}_1)=(6,-1,-2)-(5,-2,-3)=(1,1,1).

Passo 7

Agora já temos T nas bases canônicas:
T(\mathbf{e}_1)=(1,1,1),\quad T(\mathbf{e}_2)=(1,-1,0),\quad T(\mathbf{e}_3)=(1,0,-1),\quad T(\mathbf{e}_4)=(0,0,0).
Por linearidade, para qualquer (x,y,z,w)\in\mathbb{R}^4 vale
T(x,y,z,w)=x\,T(\mathbf{e}_1)+y\,T(\mathbf{e}_2)+z\,T(\mathbf{e}_3)+w\,T(\mathbf{e}_4).
Substituindo os vetores acima obtemos, simplificando coordenada a coordenada,
T(x,y,z,w)=(x+y+z,\;x-y,\;x-z).

Passo 8

Com a fórmula explícita T(x,y,z,w)=(x+y+z,\;x-y,\;x-z) posso analisar injetividade/sobrejetividade:
  • Observe que T(\mathbf{e}_4)=(0,0,0) com \mathbf{e}_4\neq(0,0,0). Logo \ker T contém um vetor não nulo, portanto T não é injetora.
  • Os vetores coluna da matriz de T (isto é, T(\mathbf{e}_1),T(\mathbf{e}_2),T(\mathbf{e}_3)) são (1,1,1),(1,-1,0),(1,0,-1). Verifiquemos que são linearmente independentes: se \alpha(1,1,1)+\beta(1,-1,0)+\gamma(1,0,-1)=(0,0,0), pelo sistema de coordenadas obtém-se \alpha=\beta=\gamma=0 (ou, somando as três equações, 3\alpha=0\Rightarrow\alpha=0 etc.). Portanto essas três colunas são independentes e geram \mathbb{R}^3. Assim \operatorname{Im}T=\mathbb{R}^3 e T é sobrejetora.
  • Como T é sobrejetora mas não injetora, não é bijetora. Pelo mesmo motivo T não tem inversa global T^{-1} (não existe aplicação inversa única definida em todo \mathbb{R}^3).

Passo 9

Comentários rápidos sobre alternativas que envolvem fórmulas/inversas:
  • Qualquer alternativa que apresente uma fórmula diferente de T(x,y,z,w)=(x+y+z,\;x-y,\;x-z) está errada quanto à expressão de T.
  • Alternativas que afirmem injetividade ou bijetividade estão erradas; alternativas que afirmem não-injetividade e sobrejetividade estão corretas.
  • Como T não é bijetora, qualquer fórmula proposta como T^{-1} (uma inversa global) é falsa.

Resposta

d)
l)
m)
p)
t)

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