Assinale as alternativas corretas referente a aplicação linear
dada por
Obs: Cada alternativa assinalada errada, cancelará uma certa!
Escolha uma ou mais:
□ a)
□ b)
□ c)
□ d)
□ e)
□ f)
□ g)
□ h)
□ i)
□ j)
□ k) ÉInjetora
□ l) Não é Injetora
□ m) É Sobrejetora
□ n) Não é Sobrejetora
□ o) É Bijetora
□ p) Não é Bijetora
□ q)
□ r)
□ 5)
□ t) Não tem inversa
□ a)
□ b)
□ c)
□ d)
□ e)
□ f)
□ g)
□ h)
□ i)
□ j)
□ k) ÉInjetora
□ l) Não é Injetora
□ m) É Sobrejetora
□ n) Não é Sobrejetora
□ o) É Bijetora
□ p) Não é Bijetora
□ q)
□ r)
□ 5)
□ t) Não tem inversa
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear
e nos fornece os valores de
em quatro vetores:
-
. -
. -
. -
.
O que se pede implicitamente (pelas alternativas) é:
- Determinar a fórmula explícita de
em termos das coordenadas . - Usar essa fórmula (e/ou propriedades da transformação) para decidir quais alternativas da lista são corretas (sobre fórmulas dadas, injetividade, sobrejetividade, existência de inversa etc.).
Vou então extrair das quatro igualdades acima as informações necessárias para encontrar
em qualquer vetor
.
Passo 2
Estratégia para obter
em qualquer vetor: escrever os vetores dados como combinações lineares dos vetores canônicos
,
,
,
e usar linearidade de
. As combinações que aparecem no enunciado são:
-
. -
. -
. -
.
A partir daí vamos encontrar
. Esses quatro vetores determinam completamente
.
Passo 3
Da última igualdade temos
. Como
, segue
Passo 4
Da terceira igualdade
.
Como já sabemos , temos
Como já sabemos
logo
Passo 5
Da segunda igualdade
.
Usando e
obtemos
Usando
Portanto
Passo 6
Da primeira igualdade
.
Substituindo ,
e
temos
Substituindo
Calcule
e
. A soma dá
. Assim
Passo 7
Agora já temos
nas bases canônicas:
Por linearidade, para qualquer
vale
Substituindo os vetores acima obtemos, simplificando coordenada a coordenada,
Passo 8
Com a fórmula explícita
posso analisar injetividade/sobrejetividade:
- Observe que
com . Logo contém um vetor não nulo, portanto não é injetora. - Os vetores coluna da matriz de
(isto é, ) são . Verifiquemos que são linearmente independentes: se , pelo sistema de coordenadas obtém-se (ou, somando as três equações, etc.). Portanto essas três colunas são independentes e geram . Assim e é sobrejetora. - Como
é sobrejetora mas não injetora, não é bijetora. Pelo mesmo motivo não tem inversa global (não existe aplicação inversa única definida em todo ).
Passo 9
Comentários rápidos sobre alternativas que envolvem fórmulas/inversas:
- Qualquer alternativa que apresente uma fórmula diferente de
está errada quanto à expressão de . - Alternativas que afirmem injetividade ou bijetividade estão erradas; alternativas que afirmem não-injetividade e sobrejetividade estão corretas.
- Como
não é bijetora, qualquer fórmula proposta como (uma inversa global) é falsa.
Resposta
d)
l)
m)
p)
t)
l)
m)
p)
t)