Considere os vetores
e
Calcule os valores de
e
.
Calcule os valores de
Passo 1
O enunciado dá dois vetores no plano:
Pede-se calcular os três comprimentos (normas):
Aqui vou listar claramente o que é dado e o que se quer:
- Dados: as componentes de
e . - Pedidos: os valores numéricos de
.
Passo 2
Relembrando as operações vetoriais que vamos usar (passo-a-passo e sem pular):
- Soma/subtração de vetores no plano: se
e , então
Isto significa que fazemos a operação componente a componente (x com x, y com y).
- Multiplicação por escalar: para
,
- Norma (módulo/comprimento) de um vetor: para
,
Explicação intuitiva: é o teorema de Pitágoras aplicado às componentes do vetor.
Passo 3
Propriedade útil que usarei: para qualquer escalar
e vetor
,
Isto permite, por exemplo, tirar fatores escalares para fora da norma, o que simplifica
.
Passo 4
Calcular
componente a componente:
Passo 5
Calcular
usando a fórmula da norma:
Fatorando
, obtemos a forma simplificada
Como número aproximado (útil na prova se pedirem arredondamento):
Passo 6
Calcular
. Uso a distributividade do escalar:
Primeiro
:
Agora a norma:
Fatorando
, temos
.
Aplicando a propriedade do Passo 3 para o fator :
Aplicando a propriedade do Passo 3 para o fator
Aproximação numérica:
Passo 7
Calcular
componente a componente:
Logo
Calcular a norma:
Fatorando
e
, temos a forma simplificada
Aproximação numérica:
Passo 8
Resumo rápido do método (dica de prova): sempre faça operações componente a componente; fator comum em soma com escalares pode ser tirado para fora da norma (use
); ao calcular raízes quadradas, procure fatores quadrados (como
,
, etc.) para simplificar a forma exata. Força aí — já dominaste a técnica necessária para fazer esses tipos de exercício na prova!