Considere os vetores \vec{A}=(25,-13) e \vec{B}=(37,21)
Calcule os valores de \mathrm{M}_{1}, \mathrm{M}_{2} e \mathrm{M}_{3}: M_{1}=|\vec{B}-\vec{A}|, \quad M_{2}=|5 \cdot \vec{B}+5 \cdot \vec{A}|, \quad M_{3}=|5 \cdot \vec{A}-\vec{B}|.

Passo 1

O enunciado dá dois vetores no plano:
\vec{A}=(25,-13),\qquad \vec{B}=(37,21).
Pede-se calcular os três comprimentos (normas):
M_{1}=|\vec{B}-\vec{A}|,\qquad M_{2}=|5\cdot\vec{B}+5\cdot\vec{A}|,\qquad M_{3}=|5\cdot\vec{A}-\vec{B}|.
Aqui vou listar claramente o que é dado e o que se quer:
  • Dados: as componentes de \vec{A} e \vec{B}.
  • Pedidos: os valores numéricos de M_{1},M_{2},M_{3}.

Passo 2

Relembrando as operações vetoriais que vamos usar (passo-a-passo e sem pular):
  • Soma/subtração de vetores no plano: se \vec{u}=(u_x,u_y) e \vec{v}=(v_x,v_y), então
\vec{u}+\vec{v}=(u_x+v_x,\;u_y+v_y),\qquad \vec{u}-\vec{v}=(u_x-v_x,\;u_y-v_y).
Isto significa que fazemos a operação componente a componente (x com x, y com y).
  • Multiplicação por escalar: para k\in\mathbb{R},
k\cdot\vec{u}=(k u_x,\;k u_y).
  • Norma (módulo/comprimento) de um vetor: para \vec{v}=(v_x,v_y),
|\vec{v}|=\sqrt{v_x^{2}+v_y^{2}}.
Explicação intuitiva: é o teorema de Pitágoras aplicado às componentes do vetor.

Passo 3

Propriedade útil que usarei: para qualquer escalar k e vetor \vec{v},
|k\cdot\vec{v}|=|k|\,|\vec{v}|.
Isto permite, por exemplo, tirar fatores escalares para fora da norma, o que simplifica M_{2}.

Passo 4

Calcular \vec{B}-\vec{A} componente a componente:
\vec{B}-\vec{A}=(37-25,\;21-(-13))=(12,\;34).

Passo 5

Calcular M_{1}=|\vec{B}-\vec{A}| usando a fórmula da norma:
M_{1}=\sqrt{12^{2}+34^{2}}=\sqrt{144+1156}=\sqrt{1300}.
Fatorando \,1300=100\cdot13, obtemos a forma simplificada
M_{1}=10\sqrt{13}.
Como número aproximado (útil na prova se pedirem arredondamento):
M_{1}\approx 36,055513.

Passo 6

Calcular 5\cdot\vec{B}+5\cdot\vec{A}. Uso a distributividade do escalar:
5\cdot\vec{B}+5\cdot\vec{A}=5\cdot(\vec{B}+\vec{A}).
Primeiro \vec{A}+\vec{B}:
\vec{A}+\vec{B}=(25+37,\;-13+21)=(62,\;8).
Agora a norma:
|\vec{A}+\vec{B}|=\sqrt{62^{2}+8^{2}}=\sqrt{3844+64}=\sqrt{3908}.
Fatorando \,3908=4\cdot977, temos |\vec{A}+\vec{B}|=2\sqrt{977}.
Aplicando a propriedade do Passo 3 para o fator 5:
M_{2}=|5\cdot(\vec{A}+\vec{B})|=5\cdot|\vec{A}+\vec{B}|=5\cdot 2\sqrt{977}=10\sqrt{977}.
Aproximação numérica:
M_{2}\approx 312,409987.

Passo 7

Calcular 5\cdot\vec{A}-\vec{B} componente a componente:
5\cdot\vec{A}=(5\cdot25,\;5\cdot(-13))=(125,\;-65).
Logo
5\cdot\vec{A}-\vec{B}=(125-37,\;-65-21)=(88,\;-86).
Calcular a norma:
M_{3}=\sqrt{88^{2}+(-86)^{2}}=\sqrt{7744+7396}=\sqrt{15140}.
Fatorando 15140=4\cdot3785 e 3785=5\cdot757, temos a forma simplificada
M_{3}=2\sqrt{3785}=2\sqrt{5\cdot757}.
Aproximação numérica:
M_{3}\approx 123,044707.

Passo 8

Resumo rápido do método (dica de prova): sempre faça operações componente a componente; fator comum em soma com escalares pode ser tirado para fora da norma (use |k\vec{v}|=|k|\,|\vec{v}| ); ao calcular raízes quadradas, procure fatores quadrados (como 100, 4, etc.) para simplificar a forma exata. Força aí — já dominaste a técnica necessária para fazer esses tipos de exercício na prova!

Resposta

M_{1}=10\sqrt{13}\approx 36,055513
M_{2}=10\sqrt{977}\approx 312,409987
M_{3}=2\sqrt{3785}\approx 123,044707

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