(3.0) Seja una função racional complexa H(s) tal que:
H(s)=s^2-2 s+5s^3+7 s^2+16 s+12
Calcule manualmente os resíduos dos polos de H(s) e faça manualmente a expansão em frações parciais de H(s).

Passo 1

Beleza, o enunciado diz: temos
H(s)=s^2-2s+5s^3+7s^2+16s+12
e precisamos calcular “na mão” os resíduos nos polos de H(s)=sum coeficiente(s-polo)^ordem e depois escrever a expansão em frações parciais.
Isso é papo de transformada de Laplace e análise de sistemas lineares: para isso a gente vai fatorar o denominador, achar os polos, depois cada resíduo e, por fim, montar a forma

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador:
s^3+7s^2+16s+12
Testando raízes inteiras, vê-se que s^3+7s^2+16s+12=(s+2)(s^2+5s+6)=(s+2)(s+2)(s+3)=(s+2)^2(s+3) é raiz. Fazendo divisão polinomial:
Logo os polos são (pólo duplo) e (pólo simples).

Passo 3

Vamos ao resíduo no polo simples Res[H,s=-3] =s^2-2s+5tfracddsl[(s+2)^2(s+3)r]|s=-3 . A fórmula para pólo simples é
tfracdds[(s+2)^2(s+3)] =2(s+2)(s+3)+(s+2)^2cdot1 =3s^2+14s+16,
Calculando:
Res[H,-3] =(-3)^2-2(-3)+53(-3)^2+14(-3)+16 =9+6+527-42+16 =201 =20
então em :

Passo 4

No pólo duplo A1 =limsto -2ddsl[(s+2)^2H(s)r] =limsto -2ddss^2-2s+5s+3 a gente precisa de dois coeficientes:
  1. f'(s) =(2s-2)(s+3)-(s^2-2s+5)cdot1(s+3)^2 =s^2+6s-11(s+3)^2, , dado por
A1=f'(-2) =4-12-111 =-19
Derivando A2 =limsto -2(s+2)^2H(s) =s^2-2s+5s+3|s=-2 =4+4+51 =13 :
avaliando em :
  1. , o coeficiente de , é

Passo 5

Agora é só montar a expansão em frações parciais para
H(s)=s^2-2s+5(s+2)^2(s+3) =A1s+2+A2(s+2)^2+Cs+3,
onde já achamos , e .

Resposta

Resíduos:
Res[H,s=-3]=20, Res[H,s=-2]=-19
(mais o termo de ordem 2 em boxed H(s) =-19s+2+13(s+2)^2+20s+3 com coeficiente ).
Expansão em frações parciais:

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