Seja
onde o posto de
é
. Determine a distribuição de
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um vetor aleatório
que segue uma distribuição normal multivariada, representada por
. Aqui,
é o vetor de médias e
é a matriz de covariância, que tem posto
, ou seja, ela é não singular. O que precisamos descobrir é qual é a distribuição de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para um vetor aleatório que segue uma distribuição normal multivariada,
, a expressão
está relacionada à forma quadrática da distribuição normal.
Passo 3
Se a média
fosse o vetor zero, ou seja,
, então a expressão
seguiria uma distribuição qui-quadrado com
graus de liberdade, representada por
. Isso porque nesse caso estamos lidando com uma distribuição central.
Passo 4
No entanto, no nosso caso, a média
pode não ser zero. Quando a média é diferente de zero, a expressão
segue uma distribuição qui-quadrado não central. A não centralidade vem do termo da média
e é medida pelo parâmetro de não centralidade
.
Passo 5
O parâmetro de não centralidade
é calculado como
. Portanto, a distribuição da nossa expressão é uma qui-quadrado não central com
graus de liberdade e parâmetro de não centralidade
.