Seja undersetsimY sim Nn(mu, Sigma) onde o posto de Sigma é r(Sigma)=n. Determine a distribuição de undersetsimY^prime Sigma^-1 undersetsimY

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um vetor aleatório undersetsimY que segue uma distribuição normal multivariada, representada por Nn(mu, Sigma). Aqui, mu é o vetor de médias e Sigma é a matriz de covariância, que tem posto r(Sigma) = n, ou seja, ela é não singular. O que precisamos descobrir é qual é a distribuição de undersetsimY^prime Sigma^-1 undersetsimY.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para um vetor aleatório que segue uma distribuição normal multivariada, undersetsimY sim Nn(mu, Sigma), a expressão undersetsimY^prime Sigma^-1 undersetsimY está relacionada à forma quadrática da distribuição normal.

Passo 3

Se a média mu fosse o vetor zero, ou seja, mu = 0, então a expressão undersetsimY^prime Sigma^-1 undersetsimY seguiria uma distribuição qui-quadrado com n graus de liberdade, representada por chi^2n. Isso porque nesse caso estamos lidando com uma distribuição central.

Passo 4

No entanto, no nosso caso, a média mu pode não ser zero. Quando a média é diferente de zero, a expressão undersetsimY^prime Sigma^-1 undersetsimY segue uma distribuição qui-quadrado não central. A não centralidade vem do termo da média mu e é medida pelo parâmetro de não centralidade lambda.

Passo 5

O parâmetro de não centralidade lambda é calculado como lambda = mu^prime Sigma^-1 mu. Portanto, a distribuição da nossa expressão é uma qui-quadrado não central com n graus de liberdade e parâmetro de não centralidade lambda.

Resposta

undersetsimY^prime Sigma^-1 undersetsimY sim chi^2n(lambda), onde lambda = mu^prime Sigma^-1 mu.

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