Considere o modelo de medidas repetidas
onde
e
são medidas do
-ésimo indivíduo respectivamente antes e depois da aplicação de um tratamento. Admitindo
são vetores aleatórios independentes,
,
e
(a) Escreva esse modelo na forma matricial. Em que tipo de testes de hipóteses poderíamos estar interessados nesse modelo?
(b) Construa a matriz de variância de covariância de
e escreva em notação de produto de Kronecker.
(a) Escreva esse modelo na forma matricial. Em que tipo de testes de hipóteses poderíamos estar interessados nesse modelo?
(b) Construa a matriz de variância de covariância de
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos um modelo de medidas repetidas onde medimos uma característica antes e depois de um tratamento para cada indivíduo. O conteúdo aqui envolve modelos lineares e matrizes de variância-covariância. Para resolver, vamos precisar entender como escrever o modelo em forma matricial e como construir a matriz de variância-covariância usando o produto de Kronecker.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o modelo na forma matricial. Temos duas equações:
Podemos organizar isso em uma única equação vetorial. Para cada indivíduo
, podemos escrever:
$$
+
$$
Assim, o modelo matricial fica:
Onde:
-
é o vetor de medidas. -
é o vetor de parâmetros fixos. -
é o vetor de erros aleatórios.
Passo 3
Agora, vamos pensar nos tipos de testes de hipóteses que poderíamos realizar nesse modelo. Em geral, estamos interessados em testar se o tratamento teve efeito. Isso se traduz em testar se
é diferente de zero. Especificamente, podemos fazer:
- Teste de Hipótese sobre
: - Hipótese Nula (
): (o tratamento não teve efeito). - Hipótese Alternativa (
): (o tratamento teve efeito).
- Hipótese Nula (
Além disso, podemos testar hipóteses conjuntos envolvendo
e
, por exemplo, testar se ambos são iguais a certos valores.
Passo 4
Vamos agora construir a matriz de variância-covariância dos erros
. Sabemos que para cada
:
Assim, a matriz de variância-covariância para
é:
Passo 5
Por fim, vamos escrever essa matriz usando a notação de produto de Kronecker. O produto de Kronecker é uma forma de construir matrizes maiores a partir de duas matrizes menores. Considerando que temos
indivíduos e que os erros são independentes entre si, a matriz de variância-covariância total para todos os
indivíduos será:
Onde
é a matriz identidade de ordem
e
representa o produto de Kronecker.
Resposta
Prontinho! Conseguimos escrever o modelo em forma matricial e identificar os testes de hipóteses relevantes. Além disso, construímos a matriz de variância-covariância dos erros utilizando a notação de produto de Kronecker: