Seja
. Se
é uma matriz simétrica de posto completo, calcule
.
Passo 1
Vamos entender o que está sendo pedido. Temos um vetor aleatório
que segue uma distribuição Normal multivariada de dimensão
com média
e matriz de covariância
, onde
é a matriz identidade. Além disso, temos uma matriz
que é simétrica e de posto completo. Nosso objetivo é calcular a expectativa de
, ou seja,
. Para resolver isso, vamos precisar saber um pouco sobre propriedades de matrizes na distribuição Normal multivariada e como calcular expectativas envolvendo produtos quadráticos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que se
, então
tem média
e cada componente de
é independente com variância
. A matriz
sendo simétrica significa que
, o que simplifica nossos cálculos futuros.
Passo 3
Queremos calcular
. Esse tipo de expressão é chamada de forma quadrática. Existe uma fórmula para a expectativa de uma forma quadrática de uma variável aleatória normal:
onde
é a matriz de covariância de
.
Passo 4
No nosso caso, a matriz de covariância
é
. Então, vamos substituir
na fórmula:
Passo 5
Simplificando a expressão, sabemos que a multiplicação de uma matriz
pela matriz identidade
resulta na própria matriz
. Além disso, a trace de
é
. Portanto:
Resposta
A expectativa
é igual a
.