Seja undersetsimY sim Np(mu, sigma^2 l). Se A é uma matriz simétrica de posto completo, calcule E(undersetsimY^prime A undersetsim Y).

Passo 1

Vamos entender o que está sendo pedido. Temos um vetor aleatório undersetsimY que segue uma distribuição Normal multivariada de dimensão p com média mu e matriz de covariância sigma^2 I, onde I é a matriz identidade. Além disso, temos uma matriz A que é simétrica e de posto completo. Nosso objetivo é calcular a expectativa de undersetsimY^prime A undersetsimY, ou seja, E(undersetsimY^prime A undersetsim Y). Para resolver isso, vamos precisar saber um pouco sobre propriedades de matrizes na distribuição Normal multivariada e como calcular expectativas envolvendo produtos quadráticos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que se undersetsimY sim Np(mu, sigma^2 I), então undersetsimY tem média mu e cada componente de undersetsimY é independente com variância sigma^2. A matriz A sendo simétrica significa que A = A^prime, o que simplifica nossos cálculos futuros.

Passo 3

Queremos calcular E(undersetsimY^prime A undersetsim Y). Esse tipo de expressão é chamada de forma quadrática. Existe uma fórmula para a expectativa de uma forma quadrática de uma variável aleatória normal:
E(undersetsimY^prime A undersetsim Y) = trace(A Sigma) + mu^prime A mu
onde Sigma é a matriz de covariância de undersetsimY.

Passo 4

No nosso caso, a matriz de covariância Sigma é sigma^2 I. Então, vamos substituir Sigma na fórmula:
E(undersetsimY^prime A undersetsim Y) = trace(A cdot sigma^2 I) + mu^prime A mu

Passo 5

Simplificando a expressão, sabemos que a multiplicação de uma matriz A pela matriz identidade I resulta na própria matriz A. Além disso, a trace de sigma^2 A é sigma^2 trace(A). Portanto:
E(undersetsimY^prime A undersetsim Y) = sigma^2 trace(A) + mu^prime A mu

Resposta

A expectativa E(undersetsimY^prime A undersetsim Y) é igual a sigma^2 trace(A) + mu^prime A mu.

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