Seja f(x, y)=x^3 y^2, em que x=t^2+1 e y=3-cos (t^2). Utilize a Regra da Cadeia para determinar d fd t.

Passo 1

O enunciado dá a função de duas variáveis
f(x,y)=x^3y^2
e as dependências
x=x(t)=t^2+1, y=y(t)=3-cosl(t^2r)
O conteúdo é a Regra da Cadeia: precisamos das derivadas parciais de f em relação a x e y, e das derivadas dx/dt e dy/dt.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de f. Como
f(x,y)=x^3y^2,
temos
partial fpartial x=3x^2y^2, partial fpartial y=2x^3y

Passo 3

Calcular dx/dt e dy/dt. Das definições
x(t)=t^2+1 Rightarrow dxdt=2t,
y(t)=3-cosl(t^2r) Rightarrow dydt=-l(-sin(t^2)r)cdot2t =2tsinl(t^2r)

Passo 4

Aplicar a Regra da Cadeia:
dfdt =partial fpartial x,dxdt +partial fpartial y,dydt
Substituindo as expressões anteriores:
dfdt =(3x^2y^2)(2t)+(2x^3y)l(2tsin(t^2)r)

Passo 5

Voltar às variáveis em t: x=t^2+1 e y=3-cos(t^2). Então
dfdt =6t,(t^2+1)^2,(3-cos(t^2))^2 +4t,(t^2+1)^3,(3-cos(t^2)),sin(t^2)
Podemos ainda fatorar 2t,(t^2+1)^2,(3-cos(t^2)):
dfdt =2t,(t^2+1)^2,(3-cos(t^2)) l[3,(3-cos(t^2))+2,(t^2+1),sin(t^2)r]

Resposta

dfdt =2t,(t^2+1)^2,(3-cos(t^2)) l[3,(3-cos(t^2))+2,(t^2+1),sin(t^2)r]

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