Seja V um conjunto não vazio.
a) Escreva a definição de espaço vetorial sobre R.

Passo 1

Então, vamos resumir o que a questão está pedindo. A gente tem um conjunto não vazio, chamado , e precisa escrever a definição de espaço vetorial sobre . Isso está dentro do conteúdo de Álgebra Linear, mais especificamente sobre espaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar entender quais são as propriedades ou regras que deve seguir para ser considerado um espaço vetorial sobre os números reais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um espaço vetorial. Basicamente, um espaço vetorial é um conjunto que permite fazer duas operações: adição de vetores e multiplicação de vetores por escalares (números reais, no nosso caso). Mas nem qualquer conjunto serve; ele precisa seguir algumas regras para que essas operações funcionem de maneira consistente.

Passo 3

Vamos listar as propriedades que precisa satisfazer para ser um espaço vetorial sobre :
  1. Fechamento em Adição: Se você pegar dois vetores qualquer em e somar, o resultado também tem que estar em .
  2. Associatividade da Adição: A ordem em que você soma três vetores não muda o resultado. Ou seja, para todos .
  3. Elemento Neutro da Adição: Deve existir um vetor zero em que, quando somado a qualquer vetor, não altera o vetor. para todo .
  4. Elemento Inverso da Adição: Para cada vetor em , deve existir outro vetor que somado a ele dá o vetor zero. Ou seja, para cada , existe tal que .
  5. Fechamento em Multiplicação por Escalar: Se você multiplicar qualquer vetor de por um número real, o resultado também deve estar em .
  6. Distributividade da Multiplicação por Escalar em Relação à Adição de Vetores: Multiplicar um escalar pela soma de dois vetores é o mesmo que multiplicar o escalar por cada vetor e depois somar. .
  7. Distributividade da Multiplicação por Escalar em Relação à Adição de Escalares: A soma de dois escalares multiplicada por um vetor é igual à soma das multiplicações dos escalares por esse vetor. .
  8. Associatividade da Multiplicação por Escalar: Multiplicar dois escalares e depois multiplicar por um vetor dá o mesmo resultado que multiplicar o escalar pelo vetor primeiro. .
  9. Elemento Neutro da Multiplicação por Escalar: Multiplicar qualquer vetor por 1 não altera o vetor. .

Resposta

A definição de espaço vetorial sobre é um conjunto não vazio que, juntamente com as operações de adição de vetores e multiplicação por escalares reais, satisfaz as seguintes propriedades:
  1. Fechamento em Adição: .
  2. Associatividade da Adição: .
  3. Elemento Neutro da Adição: Existe tal que para todo .
  4. Elemento Inverso da Adição: tal que .
  5. Fechamento em Multiplicação por Escalar: .
  6. Distributividade do Escalar sobre a Adição de Vetores: .
  7. Distributividade do Escalar sobre a Adição de Escalares: .
  8. Associatividade da Multiplicação por Escalar: .
  9. Elemento Neutro da Multiplicação por Escalar: .
Essas propriedades garantem que seja um espaço vetorial sobre .

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