Seja V um espaço vetorial. Mostre que lang<= u, Orang<==0 para todo u in V.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que o produto interno de qualquer vetor no espaço vetorial com o vetor zero é igual a zero, ou seja, . Para resolver isso, vamos usar os conceitos de produto interno e as propriedades do vetor zero nos espaços vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um produto interno. É uma operação que pega dois vetores do espaço e retorna um número real. Esse produto interno precisa satisfazer algumas propriedades, como:
  1. Linearidade: para quaisquer vetores e escalares .
  2. Simetria: .
  3. Positividade: , e se e somente se é o vetor zero.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o vetor zero no espaço vetorial . Esse vetor tem a propriedade de que, quando somado a qualquer vetor , ele não muda o vetor, ou seja, . Além disso, para qualquer vetor , temos envolvendo o vetor zero.

Passo 4

Vamos aplicar a linearidade do produto interno. Sabemos que:
lang<= u, O rang<= = lang<= u, 0 cdot v rang<=
Para qualquer vetor lang<= u, 0 cdot v rang<= = 0 cdot lang<= u, v rang<= = 0 (já que ). Pela linearidade:
Portanto, .

Resposta

Para todo , temos .

Exercícios relacionados