Seja 
  o conjunto de todos os pares ordenados de números reais e considere as operações de adição e multiplicação por escalar definidas em 
  
  e 
  por
 
c) Como a adição de 
  é a operação de adição padrão de 
 , certos axiomas de espaço vetorial valem para 
  por valerem em 
 . Quais são esses axiomas?
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado fala sobre o conjunto 
  formado por todos os pares ordenados de números reais, com operações de adição e multiplicação por escalar definidas de uma maneira específica. A parte © da questão quer saber quais axiomas de espaço vetorial são válidos para 
  porque a adição em 
  é a operação padrão de 
 .
Para resolver isso, vamos precisar entender o que são axiomas de espaço vetorial e quais deles são garantidos quando usamos a adição padrão dos vetores em 
 .
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de vetores onde podemos fazer adições e multiplicações por escalares que seguem certos regras, chamadas de axiomas. Esses axiomas garantem que as operações sejam bem definidas e comportem-se de forma consistente.
Aqui, 
  usa a adição padrão de 
 , ou seja, se temos dois vetores 
  e 
 , a soma deles é 
 . Como essa adição segue a mesma operação que conhecemos em 
 , podemos assumir que certos axiomas já se aplicam automaticamente.
Passo 3
Vamos listar os axiomas de espaço vetorial e identificar quais deles são garantidos pela adição padrão em 
 :
- 
Fechamento da adição: A soma de dois vetores em
também pertence a . Como estamos usando a adição padrão de , isso sempre vale.  - 
Comutatividade da adição:
para quaisquer . A adição padrão em é comutativa, então esse axioma é válido.  - 
Associatividade da adição:
para quaisquer . Novamente, na adição padrão de , isso sempre acontece.  - 
Elemento neutro da adição: Existe um vetor
tal que para todo . Na adição padrão, o vetor zero é , que atua como neutro.  - 
Existência de inversos aditivos: Para todo vetor
, existe um vetor tal que . Com a adição padrão, o inverso de é , que também pertence a .  
Resposta
Os seguintes axiomas de espaço vetorial são válidos para 
  pois a adição de 
  é a operação padrão de 
 :
- Fechamento da adição
 - Comutatividade da adição
 - Associatividade da adição
 - Elemento neutro da adição
 - Existência de inversos aditivos