Seja V um espaço vetorial de dimensão 8. Considere as afirmativas abaixo:
I) Existe subconjunto LI de V com 9 vetores.
II) Nem todo conjunto gerador de V com 8 vetores é uma base de V.
III) Existe um conjunto gerador de V com 8 vetores que é LI.
(A) Todas sāo falsas.
(B) Só II e III são verdadeiras.
(C) Só III é verdadeira.
(D) Só I e III sảo verdadeiras.
(E) Só II é verdadeira.
(F) Só I e II são verdadeiras.
(G) Só I é verdadeira.
(H) Todas sāo verdadeiras.

Passo 1

O enunciado dá um espaço vetorial V com \dim(V)=8 e pede para avaliar a veracidade das três afirmações abaixo:
I) Existe subconjunto linearmente independente (LI) de V com 9 vetores.
II) Nem todo conjunto gerador de V com 8 vetores é uma base de V.
III) Existe um conjunto gerador de V com 8 vetores que é LI.
A pergunta final é escolher a alternativa correta entre as opções (A)–(H).

Passo 2

Vou lembrar os conceitos básicos que vamos usar (de forma bem direta e sem jargões):
  • Um conjunto de vetores é linearmente independente (LI) se a única combinação linear que dá o vetor nulo tem todos os coeficientes zero. Em símbolos: um conjunto \{v_1,\dots,v_k\} é LI se, sempre que \alpha_1 v_1+\cdots+\alpha_k v_k=0, então \alpha_1=\cdots=\alpha_k=0.
  • Um conjunto gera (ou é gerador de) V se combinações lineares dos vetores do conjunto produzem qualquer vetor de V. Em outras palavras, o span do conjunto é todo V.
  • Uma base é um conjunto que é ao mesmo tempo LI e gerador.
  • A dimensão \dim(V) é o número de vetores em qualquer base de V. Aqui \dim(V)=8.

Passo 3

Propriedades fundamentais em espaços de dimensão finita que vamos usar (e que vou justificar de forma simples):
  • (P1) Qualquer conjunto LI em V tem no máximo \dim(V) vetores. Ou seja, se \dim(V)=n então não existe conjunto LI com mais de n vetores.
    Justificativa intuitiva e curta: escolha uma base B=\{e_1,\dots,e_n\} com n=\dim(V). Cada vetor de um conjunto qualquer pode ser escrito em coordenadas em relação a B, então representa-se por um vetor em \mathbb{R}^n (ou no corpo em questão). Ter mais de n vetores significa ter mais colunas do que linhas numa matriz de coordenadas, e dessa forma as colunas ficam linearmente dependentes (teorema das dimensões elementar). Isso gera uma combinação linear não trivial entre os vetores originais, contradizendo a independência. Logo, um conjunto LI não pode ter mais de n vetores.
  • (P2) Qualquer conjunto gerador de V tem pelo menos \dim(V) vetores. Intuitivamente, para gerar um espaço de dimensão n precisa de, no mínimo, n vetores.
    Justificativa curta: se um conjunto gerador tivesse menos de n vetores, então a dimensão do subespaço que ele gera seria menor que n, logo não poderia gerar todo V.
  • (P3) Consequência útil: Se um conjunto tem exatamente \dim(V) vetores e é gerador, então ele é automaticamente LI, portanto é uma base. Alternativamente, se tem exatamente \dim(V) vetores e é LI, então gera V. Essa é uma consequência direta das relações entre tamanhos e da definição de dimensão.

Passo 4

Analisando a afirmativa I: “Existe subconjunto LI de V com 9 vetores.”
Como \dim(V)=8, pela propriedade (P1) não pode haver um conjunto LI com mais de 8 vetores. Portanto um conjunto LI com 9 vetores é impossível. Conclusão: a afirmativa I é falsa.

Passo 5

Analisando a afirmativa II: “Nem todo conjunto gerador de V com 8 vetores é uma base de V.”
Pelo que vimos em (P3), qualquer conjunto gerador cuja cardinalidade é igual a \dim(V) é necessariamente LI e, portanto, é uma base. Em palavras: se um conjunto gera V e tem exatamente 8 vetores, então não pode ser linearmente dependente (pois, se fosse dependente, removeríamos algum vetor sem perder a geração e obteríamos um gerador com menos de 8 vetores, contradizendo \dim(V)=8). Logo todo conjunto gerador com 8 vetores é, de fato, uma base. Portanto a afirmação “Nem todo conjunto gerador … é uma base” é falsa — na verdade todo gerador com 8 vetores é base. Conclusão: II é falsa.

Passo 6

Analisando a afirmativa III: “Existe um conjunto gerador de V com 8 vetores que é LI.”
Isso é exatamente a existência de uma base com 8 vetores. Sabemos que V sendo de dimensão 8 possui por definição uma base com 8 vetores (essa é a definição de dimensão finita: existe uma base com esse número de vetores). Essa base é um conjunto gerador de V e é LI por definição de base. Portanto existe sim um conjunto gerador com 8 vetores que é LI. Conclusão: III é verdadeira.

Passo 7

Resumo das verdades:
  • I é falsa.
  • II é falsa.
  • III é verdadeira.
    Logo exatamente a afirmativa III é verdadeira.

Resposta

(C) Só III é verdadeira.

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