Seja
um espaço vetorial de dimensão 8. Considere as afirmativas abaixo:
I) Existe subconjunto LI de
com 9 vetores.
II) Nem todo conjunto gerador de
com 8 vetores é uma base de
.
III) Existe um conjunto gerador de
com 8 vetores que é LI.
(A) Todas sāo falsas.
(B) Só II e III são verdadeiras.
(C) Só III é verdadeira.
(D) Só I e III sảo verdadeiras.
(E) Só II é verdadeira.
(F) Só I e II são verdadeiras.
(G) Só I é verdadeira.
(H) Todas sāo verdadeiras.
I) Existe subconjunto LI de
II) Nem todo conjunto gerador de
III) Existe um conjunto gerador de
(A) Todas sāo falsas.
(B) Só II e III são verdadeiras.
(C) Só III é verdadeira.
(D) Só I e III sảo verdadeiras.
(E) Só II é verdadeira.
(F) Só I e II são verdadeiras.
(G) Só I é verdadeira.
(H) Todas sāo verdadeiras.
Passo 1
O enunciado dá um espaço vetorial
com
e pede para avaliar a veracidade das três afirmações abaixo:
I) Existe subconjunto linearmente independente (LI) de com 9 vetores.
II) Nem todo conjunto gerador de com 8 vetores é uma base de
.
III) Existe um conjunto gerador de com 8 vetores que é LI.
A pergunta final é escolher a alternativa correta entre as opções (A)–(H).
I) Existe subconjunto linearmente independente (LI) de
II) Nem todo conjunto gerador de
III) Existe um conjunto gerador de
A pergunta final é escolher a alternativa correta entre as opções (A)–(H).
Passo 2
Vou lembrar os conceitos básicos que vamos usar (de forma bem direta e sem jargões):
- Um conjunto de vetores é linearmente independente (LI) se a única combinação linear que dá o vetor nulo tem todos os coeficientes zero. Em símbolos: um conjunto
é LI se, sempre que , então . - Um conjunto gera (ou é gerador de)
se combinações lineares dos vetores do conjunto produzem qualquer vetor de . Em outras palavras, o span do conjunto é todo . - Uma base é um conjunto que é ao mesmo tempo LI e gerador.
- A dimensão
é o número de vetores em qualquer base de . Aqui .
Passo 3
Propriedades fundamentais em espaços de dimensão finita que vamos usar (e que vou justificar de forma simples):
- (P1) Qualquer conjunto LI em
tem no máximo vetores. Ou seja, se então não existe conjunto LI com mais de vetores.
Justificativa intuitiva e curta: escolha uma basecom . Cada vetor de um conjunto qualquer pode ser escrito em coordenadas em relação a , então representa-se por um vetor em (ou no corpo em questão). Ter mais de vetores significa ter mais colunas do que linhas numa matriz de coordenadas, e dessa forma as colunas ficam linearmente dependentes (teorema das dimensões elementar). Isso gera uma combinação linear não trivial entre os vetores originais, contradizendo a independência. Logo, um conjunto LI não pode ter mais de vetores. - (P2) Qualquer conjunto gerador de
tem pelo menos vetores. Intuitivamente, para gerar um espaço de dimensão precisa de, no mínimo, vetores.
Justificativa curta: se um conjunto gerador tivesse menos devetores, então a dimensão do subespaço que ele gera seria menor que , logo não poderia gerar todo . - (P3) Consequência útil: Se um conjunto tem exatamente
vetores e é gerador, então ele é automaticamente LI, portanto é uma base. Alternativamente, se tem exatamente vetores e é LI, então gera . Essa é uma consequência direta das relações entre tamanhos e da definição de dimensão.
Passo 4
Analisando a afirmativa I: “Existe subconjunto LI de
com 9 vetores.”
Como , pela propriedade (P1) não pode haver um conjunto LI com mais de
vetores. Portanto um conjunto LI com
vetores é impossível. Conclusão: a afirmativa I é falsa.
Como
Passo 5
Analisando a afirmativa II: “Nem todo conjunto gerador de
com 8 vetores é uma base de
.”
Pelo que vimos em (P3), qualquer conjunto gerador cuja cardinalidade é igual a é necessariamente LI e, portanto, é uma base. Em palavras: se um conjunto gera
e tem exatamente
vetores, então não pode ser linearmente dependente (pois, se fosse dependente, removeríamos algum vetor sem perder a geração e obteríamos um gerador com menos de
vetores, contradizendo
). Logo todo conjunto gerador com
vetores é, de fato, uma base. Portanto a afirmação “Nem todo conjunto gerador … é uma base” é falsa — na verdade todo gerador com 8 vetores é base. Conclusão: II é falsa.
Pelo que vimos em (P3), qualquer conjunto gerador cuja cardinalidade é igual a
Passo 6
Analisando a afirmativa III: “Existe um conjunto gerador de
com 8 vetores que é LI.”
Isso é exatamente a existência de uma base com vetores. Sabemos que
sendo de dimensão
possui por definição uma base com
vetores (essa é a definição de dimensão finita: existe uma base com esse número de vetores). Essa base é um conjunto gerador de
e é LI por definição de base. Portanto existe sim um conjunto gerador com
vetores que é LI. Conclusão: III é verdadeira.
Isso é exatamente a existência de uma base com
Passo 7
Resumo das verdades:
- I é falsa.
- II é falsa.
- III é verdadeira.
Logo exatamente a afirmativa III é verdadeira.
Resposta
(C) Só III é verdadeira.