Q15: Seja p(x)=-2-5 x-x^{2} e
\beta=\left\{-1-2 x-3 x^{2}, \quad 3+9 x+6 x^{2}, \quad-1-3 x-4 x^{2}\right\}
uma base do espaço dos polinômios de grau até 2 .
Denotando por [p]_{\beta}=(a, b, c) as coordenadas de p com relação à base \beta, calcule o valor de c.
(A) -2
(B) 2
(C) 1
(D) 4
(E) -3
(F) -1
(G) 3
(H) -4

Passo 1

O enunciado nos dá o polinômio
p(x)= -2 - 5x - x^{2}
e a base \beta composta por três polinômios:
v_{1} = -1 - 2x - 3x^{2},\qquad v_{2} = 3 + 9x + 6x^{2},\qquad v_{3} = -1 - 3x - 4x^{2}.
Foi dito que as coordenadas de p na base \beta são [p]_{\beta}=(a,b,c).
O problema pede explicitamente: calcule o valor de c.

Passo 2

O que significa escrever [p]_{\beta}=(a,b,c)? Significa que existe uma combinação linear dos vetores da base que dá p:
a\,v_{1}+b\,v_{2}+c\,v_{3}=p.
Como todos esses são polinômios em \{1,x,x^{2}\}, duas expressões polinomiais são iguais se, e só se, os coeficientes de 1, x e x^{2} coincidirem. Então vamos montar as equações obtidas ao igualar coeficientes.

Passo 3

Escrevendo a combinação linear explicitamente:
a(-1-2x-3x^{2})+b(3+9x+6x^{2})+c(-1-3x-4x^{2})=-2-5x-x^{2}.
Agora vamos coletar coeficientes de 1, x e x^{2} do lado esquerdo.

Passo 4

Coeficiente do termo constante (termo de 1):
- a + 3b - c = -2. \tag{1}
Coeficiente de x:
-2a + 9b -3c = -5. \tag{2}
Coeficiente de x^{2}:
-3a + 6b -4c = -1. \tag{3}

Passo 5

Vamos resolver o sistema. Da equação (1) isolamos a:
- a + 3b - c = -2 \quad\Rightarrow\quad a = 2 + 3b - c. \tag{4}

Passo 6

Substituímos (4) em (2):
-2(2+3b-c)+9b-3c=-5.
Calculando passo a passo:
-4-6b+2c+9b-3c=-5,
-4+3b-c=-5.
Isolando c:
3b-c=-1 \quad\Rightarrow\quad c = 1+3b. \tag{5}

Passo 7

Agora substituímos (4) em (3):
-3(2+3b-c)+6b-4c=-1.
Calculando:
-6-9b+3c+6b-4c=-1,
-6-3b-c=-1.
Rearranjando:
-3b-c=5 \quad\Rightarrow\quad 3b+c=-5. \tag{6}

Passo 8

Usamos a relação (5) em (6). Substituindo c=1+3b em 3b+c=-5:
3b+(1+3b)=-5,
6b+1=-5,
6b=-6\quad\Rightarrow\quad b=-1.

Passo 9

Com b=-1 usamos (5) para obter c:
c=1+3b=1+3(-1)=1-3=-2.
(Se quiser checar, pode-se calcular a pela fórmula (4): a=2+3(-1)-(-2)=2-3+2=1. Então a combinação 1\cdot v_{1}+(-1)\cdot v_{2}+(-2)\cdot v_{3} reproduz p.)

Resposta

(A) -2

Exercícios relacionados