Q13: Determine a dimensio de
\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 3 \\\\ 2 \\\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}-2 \\\\ -5 \\\\ -5 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}-3 \\\\ -8 \\\\ -5 \\\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}-1 \\\\ -2 \\\\ -9 \\\\ -5\end{array}\right]\right\}.
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4

Passo 1

O enunciado dá quatro vetores em \mathbb{R}^4 e pede a dimensão do subespaço gerado por eles, isto é, a dimensão de
\operatorname{span}\left\{\begin{pmatrix}1\\[2pt]3\\[2pt]2\\[2pt]1\end{pmatrix},\, \begin{pmatrix}-2\\[2pt]-5\\[2pt]-5\\[2pt]0\end{pmatrix},\, \begin{pmatrix}-3\\[2pt]-8\\[2pt]-5\\[2pt]1\end{pmatrix},\, \begin{pmatrix}-1\\[2pt]-2\\[2pt]-9\\[2pt]-5\end{pmatrix}\right\}.
O que é pedido: encontrar \dim\big(\operatorname{span}\{\cdots\}\big) — ou seja, quantos vetores linearmente independentes existem entre esses quatro.]

Passo 2

Ideia do método (sem calcular ainda): a dimensão do span dos vetores é o número máximo de vetores linearmente independentes entre eles. Uma forma prática de verificar isso é colocar os vetores como colunas de uma matriz e calcular a sua classificação por eliminação de Gauss; o número de linhas não nulas na forma escalonada (o posto, rank) é exatamente a dimensão do span das colunas. Vou usar esse procedimento passo a passo.

Passo 3

Formo a matriz A cujas colunas são os quatro vetores dados:
A=\begin{pmatrix} 1 & -2 & -3 & -1\\[4pt] 3 & -5 & -8 & -2\\[4pt] 2 & -5 & -5 & -9\\[4pt] 1 & 0 & 1 & -5 \end{pmatrix}.
Cada coluna é um dos vetores do enunciado.]

Passo 4

Começo a eliminação de Gauss usando a_{11}=1 como pivô. Faço as operações
R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1,\qquad R_3 \leftarrow R_3 - 2R_1,\qquad R_4 \leftarrow R_4 - R_1.
Calculemos cada uma:
  • Para R_2: (3,-5,-8,-2) - 3\cdot(1,-2,-3,-1) = (0,\, -5+6,\, -8+9,\, -2+3) = (0,\,1,\,1,\,1).
  • Para R_3: (2,-5,-5,-9) - 2\cdot(1,-2,-3,-1) = (0,\, -5+4,\, -5+6,\, -9+2) = (0,\, -1,\,1,\, -7).
  • Para R_4: (1,0,1,-5) - 1\cdot(1,-2,-3,-1) = (0,\, 2,\,4,\, -4).
A matriz fica então
\begin{pmatrix} 1 & -2 & -3 & -1\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 1\\[4pt] 0 & -1 & 1 & -7\\[4pt] 0 & 2 & 4 & -4 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora uso o pivô a_{22}=1 (segunda linha, segunda coluna). Elimino abaixo dele com
R_3 \leftarrow R_3 + R_2,\qquad R_4 \leftarrow R_4 - 2R_2.
Calculemos:
  • R_3: (0,-1,1,-7)+(0,1,1,1) = (0,0,2,-6).
  • R_4: (0,2,4,-4)-2\cdot(0,1,1,1) = (0,0,2,-6).
A matriz agora é
\begin{pmatrix} 1 & -2 & -3 & -1\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 2 & -6\\[4pt] 0 & 0 & 2 & -6 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Agora uso o pivô a_{33}=2 (terceira linha, terceira coluna). Primeiro simplifico a terceira linha dividindo por 2:
R_3 \leftarrow \tfrac{1}{2}R_3 = (0,0,1,-3).
Em seguida elimino a linha 4 com
R_4 \leftarrow R_4 - 2R_3,
o que dá R_4 = (0,0,2,-6) - 2\cdot(0,0,1,-3) = (0,0,0,0).
A matriz escalonada final (em forma de linha) é
\begin{pmatrix} 1 & -2 & -3 & -1\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -3\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 7

Interpretação do resultado: há exatamente 3 linhas não nulas na forma escalonada, portanto o posto (rank) da matriz A é 3. Como o posto da matriz de colunas é a dimensão do subespaço gerado pelas colunas, concluímos que
\dim\!\big(\operatorname{span}\{\text{os 4 vetores}\}\big) = 3.
Em linguagem mais leve: entre os quatro vetores há três linearmente independentes; um deles pode ser escrito como combinação linear dos outros três. Força aí — a resposta é 3.

Resposta

(D) 3

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