Seja
um espaço vetorial de dimensão de finita sobre um corpo
e sejam
e
subespaços vetoriais de
tais que
e
, então:
(a) ( )
.
(b) ()
.
(c) ()
.
(d) ()
.
(e) ( ) Nenhuma das alternativas anteriores.
(a) ( )
(b) ()
(c) ()
(d) ()
(e) ( ) Nenhuma das alternativas anteriores.
Passo 1
O enunciado considera um espaço vetorial
de dimensão finita e dois subespaços
e
com
e
. Queremos verificar quais das afirmações (a)–(e) são verdadeiras, usando a teoria de dimensão e soma/interseção de subespaços.
Passo 2
Analisando a alternativa (a): “
”. Em geral
não é subespaço (a não ser que um contenha o outro), de modo que não podemos atribuir-lhe dimensão como subespaço. Logo (a) é falsa.
Passo 3
Analisando (b): “
”. Além de o mesmo problema de
não ser subespaço, o valor de dimensão não faz sentido aqui. Portanto (b) é falsa.
Passo 4
A alternativa (c) diz “
”. Não há hipótese que force
estar contido em
; na prática podem intersectar-se só em
ou num subespaço de dimensão 1. Logo (c) é falsa.
Passo 5
Analisando (d): “
”. A fórmula do teorema da dimensão da soma é
Como
, segue
Portanto a desigualdade correta seria
, não
. Assim (d) também é falsa.
Resposta
(e) Nenhuma das alternativas anteriores.