Seja V um espaço vetorial de dimensão de finita sobre um corpo \mathbb{K} e sejam U e W subespaços vetoriais de V tais que \operatorname{dim} U=2 e \operatorname{dim} W=3, então:
(a) ( ) \operatorname{dim}(U \cup W)=5.
(b) () 0 \leq \operatorname{dim}(U \cup W) \leq 2.
(c) () U \subset W.
(d) () 5 \leq \operatorname{dim}(U+W) \leq \operatorname{dim} V.
(e) ( ) Nenhuma das alternativas anteriores.

Passo 1

O enunciado considera um espaço vetorial V de dimensão finita e dois subespaços U e W com \dim U=2 e \dim W=3. Queremos verificar quais das afirmações (a)–(e) são verdadeiras, usando a teoria de dimensão e soma/interseção de subespaços.

Passo 2

Analisando a alternativa (a): “ \dim(U\cup W)=5”. Em geral U\cup W não é subespaço (a não ser que um contenha o outro), de modo que não podemos atribuir-lhe dimensão como subespaço. Logo (a) é falsa.

Passo 3

Analisando (b): “ 0\le\dim(U\cup W)\le2”. Além de o mesmo problema de U\cup W não ser subespaço, o valor de dimensão não faz sentido aqui. Portanto (b) é falsa.

Passo 4

A alternativa (c) diz “ U\subset W”. Não há hipótese que force U estar contido em W; na prática podem intersectar-se só em \{0\} ou num subespaço de dimensão 1. Logo (c) é falsa.

Passo 5

Analisando (d): “ 5\le\dim(U+W)\le\dim V”. A fórmula do teorema da dimensão da soma é
\dim(U+W)=\dim U+\dim W-\dim(U\cap W)=2+3-\dim(U\cap W)=5-\dim(U\cap W).
Como 0\le\dim(U\cap W)\le2, segue
3\le\dim(U+W)\le5.
Portanto a desigualdade correta seria 3\le\dim(U+W)\le\dim V, não 5\le\dim(U+W). Assim (d) também é falsa.

Resposta

(e) Nenhuma das alternativas anteriores.

Exercícios relacionados