Sejam
e
subespaços de
, espaço vetorial sobre
,
. Se
,
, mostre que
.
Passo 1
O enunciado diz que
é um espaço vetorial com
, e que
e
são subespaços de
tais que
,
e
. Queremos mostrar que
Para isso vamos usar:
- A definição de soma direta, que exige
e - A fórmula de dimensão para soma de subespaços:
Passo 2
Mostramos que
.
Como , os únicos subespaços de
são
e
inteiro. Se
, então seria igual a
, o que implica
, contradizendo a hipótese
. Logo
Como
Passo 3
Aplico a fórmula de dimensão da soma:
Como
e
é um subespaço de
, segue que
Passo 4
Concluímos que
e
. Pelas definições, isso significa exatamente