Seja V um espaço vetorial de dimensão finita sobre mathbb{R}.
Descreva o Processo de Ortonormalização de Gram-Schmidt.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado:\n
  • Dado: um espaço vetorial de dimensão finita V sobre \mathbb{R} e um conjunto de vetores \{v_{1},v_{2},\dots,v_{n}\} em V que são linearmente independentes (ou, mais geralmente, um conjunto que gera um subespaço onde queremos uma base ortonormal).\n
  • Pedido: descrever o Processo de Ortonormalização de Gram–Schmidt, ou seja, um procedimento que a partir desses vetores produz um conjunto \{e_{1},e_{2},\dots,e_{m}\} ortonormal (isto é, todos com norma 1 e mutuamente ortogonais) que gera o mesmo subespaço que os v_{i}.\n

Passo 2

Conceitos básicos que vamos usar (explicados passo a passo):\n
  • Produto interno: para vetores u,v\in V temos o produto interno \langle u,v\rangle. No caso usual de \mathbb{R}^{k} é a soma dos produtos das componentes, por exemplo \langle u,v\rangle = u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}+\dots.\n
  • Norma: a norma de v é \|v\|=\sqrt{\langle v,v\rangle}. Ela mede o “tamanho” do vetor.\n
  • Ortogonalidade: dois vetores u e v são ortogonais se \langle u,v\rangle=0.\n
  • Ortonormalidade: um conjunto é ortonormal se os vetores são mutuamente ortogonais e cada um tem norma 1.\n
  • Projeção sobre um vetor não-nulo w: a projeção de v sobre w é dada por \displaystyle \mathrm{proj}_{w}(v)=\frac{\langle v,w\rangle}{\langle w,w\rangle}\,w. Se w já for unitário (norma 1), a projeção simplifica para \mathrm{proj}_{w}(v)=\langle v,w\rangle w.\n

Passo 3

Descrição passo a passo do algoritmo Gram–Schmidt (forma usual):\n
  1. Comece com os vetores dados \{v_{1},v_{2},\dots,v_{n}\}.\n
  2. Defina \displaystyle u_{1}=v_{1} e normalize para obter \displaystyle e_{1}=\frac{u_{1}}{\|u_{1}\|}.\n
  3. Para cada k=2,3,\dots,n faça:\n
\displaystyle u_{k}=v_{k}-\sum_{j=1}^{k-1}\mathrm{proj}_{e_{j}}(v_{k}) \;=\; v_{k}-\sum_{j=1}^{k-1}\langle v_{k},e_{j}\rangle\,e_{j},\n
se \displaystyle u_{k}\neq 0 então normalize\n
\displaystyle e_{k}=\frac{u_{k}}{\|u_{k}\|}.\n
  1. Os vetores \{e_{1},e_{2},\dots,e_{m}\} obtidos (onde m\le n é o número de u_{k} não nulos) são ortonormais e geram o mesmo subespaço gerado pelos v_{i}.\n

Passo 4

Explicação por que as fórmulas acima fazem sentido (intuição e demonstração curta):\n
  • Intuição: em cada passo subtraímos de v_{k} as componentes ao longo dos vetores já obtidos e_{1},\dots,e_{k-1}. O que sobra, u_{k}, é ortogonal a todos esses vetores anteriores.\n
  • Verificação da ortogonalidade: para j<k temos\n
\langle u_{k},e_{j}\rangle = \Big\langle v_{k}-\sum_{i=1}^{k-1}\langle v_{k},e_{i}\rangle e_{i},\; e_{j}\Big\rangle = \langle v_{k},e_{j}\rangle - \sum_{i=1}^{k-1}\langle v_{k},e_{i}\rangle\langle e_{i},e_{j}\rangle.\n
Mas \langle e_{i},e_{j}\rangle=0 para i\neq j e =1 para i=j, então a soma cancela tudo exceto \langle v_{k},e_{j}\rangle, que é subtraído — o resultado é 0. Logo u_{k} é ortogonal a todos os e_{j} com j<k.\n
  • Não zeridade de u_{k}: se os v_{1},\dots,v_{n} são linearmente independentes, então u_{k}\neq 0. Caso contrário, v_{k} seria combinação linear dos anteriores, o que contradiz a independência. Assim, podemos normalizar.\n
  • Conservação do span: cada u_{k} é combinação linear de v_{1},\dots,v_{k}, logo o espaço gerado pelos e_{1},\dots,e_{k} é o mesmo que o gerado pelos v_{1},\dots,v_{k}.\n

Passo 5

Forma alternativa (usando projeções com vetores não normalizados):\n
Uma forma equivalente, que evita normalizar antes de subtrair, é usar\n
\displaystyle u_{1}=v_{1},\qquad u_{k}=v_{k}-\sum_{j=1}^{k-1}\frac{\langle v_{k},u_{j}\rangle}{\langle u_{j},u_{j}\rangle}u_{j}.\n
Aqui as projeções são feitas sobre os u_{j} ortogonais (mas não unitários). Depois normalizamos e_{k}=u_{k}/\|u_{k}\|. Esta forma é algebraicamente idêntica à anterior e às vezes é mais direta para cálculo manual.\n

Passo 6

Exemplo numérico passo a passo (para fixar a ideia):\n
Tomemos \displaystyle v_{1}=(1,1,0),\; v_{2}=(1,0,1) em \mathbb{R}^{3} com o produto interno usual.\n
  • Calcule \displaystyle u_{1}=v_{1}=(1,1,0). A norma é \displaystyle \|u_{1}\|=\sqrt{1^{2}+1^{2}+0^{2}}=\sqrt{2}. Então\n \displaystyle e_{1}=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,1,0).\n
  • Para v_{2} calcule a projeção sobre e_{1}: \displaystyle \langle v_{2},e_{1}\rangle = \frac{1\cdot 1+0\cdot 1+1\cdot 0}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}. Então\n \mathrm{proj}_{e_{1}}(v_{2})=\langle v_{2},e_{1}\rangle e_{1}=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}(1,1,0)=\frac{1}{2}(1,1,0).\n
  • Subtraindo,\n u_{2}=v_{2}-\mathrm{proj}_{e_{1}}(v_{2})=(1,0,1)-\tfrac{1}{2}(1,1,0)=\big(\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2},1\big).\n
  • Norme de u_{2}: \displaystyle \|u_{2}\|^{2}=\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{4}+1=\tfrac{3}{2}, logo \displaystyle \|u_{2}\|=\sqrt{\tfrac{3}{2}}. Normalizando,\n \displaystyle e_{2}=\frac{u_{2}}{\|u_{2}\|}=\frac{1}{\sqrt{3/2}}\big(\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2},1\big) =\big(\tfrac{1}{\sqrt{6}},-\tfrac{1}{\sqrt{6}},\tfrac{2}{\sqrt{6}}\big).\n
  • Confirme: \langle e_{1},e_{2}\rangle=0 e \|e_{2}\|=1. Assim obtivemos duas direções ortonormais que geram o mesmo subespaço de \{v_{1},v_{2}\}.\n

Passo 7

Observações práticas e dicas para prova:\n
  • Ordem importa: Gram–Schmidt depende da ordem dos vetores iniciais; mudar a ordem pode dar uma base ortonormal diferente.\n
  • Em prova, mostre claramente os cálculos das projeções e das normas; pequenos erros de sinais/coeficientes são comuns — faça checagens rápidas: ortogonalidade e norma 1.\n
  • Para cálculo manual, a forma que usa projeção com u_{j} não normalizados às vezes produz contas com frações mais simples.\n
  • Em contexto numérico (computador), use a versão “modificada” de Gram–Schmidt para maior estabilidade numérica, mas para provas teóricas a versão padrão é suficiente.\n

Passo 8

Resumo enxuto do algoritmo (para decorar e usar na prova):\n
  • Entrada: vetores \{v_{1},\dots,v_{n}\} linearmente independentes.\n
  • Iteração: para k=1 a n\n
\begin{aligned} &u_{k}=v_{k}-\sum_{j=1}^{k-1}\langle v_{k},e_{j}\rangle e_{j},\\\ &e_{k}=\frac{u_{k}}{\|u_{k}\|}\quad\text{(se \(u_{k}\neq 0\)).} \end{aligned}\n
  • Saída: \{e_{1},\dots,e_{m}\} ortonormal gerando o mesmo subespaço.\n

Resposta

Gram–Schmidt: a partir de vetores \{v_{1},\dots,v_{n}\} constrói-se recursivamente vetores ortogonais \{u_{k}\} por \displaystyle u_{1}=v_{1} e para k\ge2\n \displaystyle u_{k}=v_{k}-\sum_{j=1}^{k-1}\langle v_{k},e_{j}\rangle e_{j},\n
onde \displaystyle e_{j}=\frac{u_{j}}{\|u_{j}\|} (quando \,u_{j}\neq0). Normalizando cada u_{k} obtém-se a base ortonormal \{e_{1},\dots,e_{m}\} que gera o mesmo subespaço que os v_{i}.

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