Seja V um espaço vetorial de dimensão finita sobre
.
Descreva o Processo de Ortonormalização de Gram-Schmidt.
Descreva o Processo de Ortonormalização de Gram-Schmidt.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado:\n
- Dado: um espaço vetorial de dimensão finita
sobre e um conjunto de vetores em que são linearmente independentes (ou, mais geralmente, um conjunto que gera um subespaço onde queremos uma base ortonormal).\n - Pedido: descrever o Processo de Ortonormalização de Gram–Schmidt, ou seja, um procedimento que a partir desses vetores produz um conjunto
ortonormal (isto é, todos com norma e mutuamente ortogonais) que gera o mesmo subespaço que os .\n
Passo 2
Conceitos básicos que vamos usar (explicados passo a passo):\n
- Produto interno: para vetores
temos o produto interno . No caso usual de é a soma dos produtos das componentes, por exemplo .\n - Norma: a norma de
é . Ela mede o “tamanho” do vetor.\n - Ortogonalidade: dois vetores
e são ortogonais se .\n - Ortonormalidade: um conjunto é ortonormal se os vetores são mutuamente ortogonais e cada um tem norma
.\n - Projeção sobre um vetor não-nulo
: a projeção de sobre é dada por . Se já for unitário (norma ), a projeção simplifica para .\n
Passo 3
Descrição passo a passo do algoritmo Gram–Schmidt (forma usual):\n
- Comece com os vetores dados
.\n - Defina
e normalize para obter .\n - Para cada
faça:\n
se
então normalize\n
- Os vetores
obtidos (onde é o número de não nulos) são ortonormais e geram o mesmo subespaço gerado pelos .\n
Passo 4
Explicação por que as fórmulas acima fazem sentido (intuição e demonstração curta):\n
- Intuição: em cada passo subtraímos de
as componentes ao longo dos vetores já obtidos . O que sobra, , é ortogonal a todos esses vetores anteriores.\n - Verificação da ortogonalidade: para
temos\n
Mas
para
e
para
, então a soma cancela tudo exceto
, que é subtraído — o resultado é
. Logo
é ortogonal a todos os
com
.\n
- Não zeridade de
: se os são linearmente independentes, então . Caso contrário, seria combinação linear dos anteriores, o que contradiz a independência. Assim, podemos normalizar.\n - Conservação do span: cada
é combinação linear de , logo o espaço gerado pelos é o mesmo que o gerado pelos .\n
Passo 5
Forma alternativa (usando projeções com vetores não normalizados):\n
Uma forma equivalente, que evita normalizar antes de subtrair, é usar\n
Uma forma equivalente, que evita normalizar antes de subtrair, é usar\n
Aqui as projeções são feitas sobre os
ortogonais (mas não unitários). Depois normalizamos
. Esta forma é algebraicamente idêntica à anterior e às vezes é mais direta para cálculo manual.\n
Passo 6
Exemplo numérico passo a passo (para fixar a ideia):\n
Tomemos em
com o produto interno usual.\n
Tomemos
- Calcule
. A norma é . Então\n \n - Para
calcule a projeção sobre : . Então\n \n - Subtraindo,\n
\n - Norme de
: , logo . Normalizando,\n \n - Confirme:
e . Assim obtivemos duas direções ortonormais que geram o mesmo subespaço de .\n
Passo 7
Observações práticas e dicas para prova:\n
- Ordem importa: Gram–Schmidt depende da ordem dos vetores iniciais; mudar a ordem pode dar uma base ortonormal diferente.\n
- Em prova, mostre claramente os cálculos das projeções e das normas; pequenos erros de sinais/coeficientes são comuns — faça checagens rápidas: ortogonalidade e norma
.\n - Para cálculo manual, a forma que usa projeção com
não normalizados às vezes produz contas com frações mais simples.\n - Em contexto numérico (computador), use a versão “modificada” de Gram–Schmidt para maior estabilidade numérica, mas para provas teóricas a versão padrão é suficiente.\n
Passo 8
Resumo enxuto do algoritmo (para decorar e usar na prova):\n
- Entrada: vetores
linearmente independentes.\n - Iteração: para
a \n
- Saída:
ortonormal gerando o mesmo subespaço.\n
Resposta
Gram–Schmidt: a partir de vetores
constrói-se recursivamente vetores ortogonais
por
e para
\n
\n
onde
(quando
). Normalizando cada
obtém-se a base ortonormal
que gera o mesmo subespaço que os
.