Seja V um espaço vetorial de dimensão finita sobre mathbb{R}.
Quando um operador \mathrm{T}: \mathrm{V} \rightarrow \mathrm{V} se diz diagonalizável?

Passo 1

O enunciado diz: temos um espaço vetorial V de dimensão finita sobre \mathbb{R} e um operador linear T:V\to V. A pergunta é: quando dizemos que T é diagonalizável?
Informações dadas: V é finito dimensional (tem uma dimensão \dim V = n finita) e T é um operador linear sobre V.
O que se pede: uma condição (ou condições equivalentes) que caracterize quando chamamos T de diagonalizável.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é autovalor e autovetor (isso é essencial). Dizemos que \lambda\in\mathbb{R} é um autovalor de T se existe um vetor não nulo v\in V tal que
T(v)=\lambda v.
Tal vetor v chama-se autovetor correspondente a \lambda. O conjunto de todos os autovetores de \lambda junto com o vetor 0 forma o subespaço denominado autespaço (ou espaço próprio)
E_\lambda=\ker(T-\lambda I)=\{v\in V\mid T(v)=\lambda v\}.
A dimensão de E_\lambda é chamada de multiplicidade geométrica de \lambda. Já a multiplicidade algébrica de \lambda é a multiplicidade de \lambda como raiz do polinômio característico de T (ou da matriz de T em qualquer base).

Passo 3

Definição direta (a mais usada em provas): dizemos que T é diagonalizável se existe uma base de V formada por autovetores de T. Ou seja, se existirem n=\dim V vetores linearmente independentes v_1,\dots,v_n tais que cada v_i satisfaz T(v_i)=\lambda_i v_i para algum \lambda_i.
Explicando por que isso se chama “diagonalizável”: se temos uma base de autovetores, a matriz de T nessa base é diagonal, com os autovalores na diagonal. Inversamente, se a matriz de T em alguma base é diagonal, as colunas dessa matriz descrevem autovetores, então há uma base de autovetores.

Passo 4

Condição prática via multiplicidades (muito útil em provas): seja p_T(t) o polinômio característico de T (obtido como \det(tI-A) para qualquer matriz A da transformação). Para cada autovalor \lambda temos duas quantidades:
  • multiplicidade algébrica: m_a(\lambda) = multiplicidade de \lambda como raiz de p_T(t);
  • multiplicidade geométrica: m_g(\lambda)=\dim E_\lambda.
Teorema prático: T é diagonalizável se, e somente se, para todo autovalor \lambda vale
m_g(\lambda)=m_a(\lambda),
ou equivalentemente se a soma das dimensões dos autespaços é \sum_\lambda m_g(\lambda)=\dim V. Intuição e razão: precisamos de n autovetores LI; os autespaços fornecem vetores por autovalor e a condição garante que juntando-os obtemos dimensão total n.

Passo 5

Condição via polinômio minimal (uma outra equivalência útil): defina o polinômio minimal m_T(t) como o polinômio monico de menor grau tal que m_T(T)=0. Então:
T\\ \text{é diagonalizável} \iff m_T(t)\\ \text{se factoriza como produto de fatores lineares distintos sobre o campo, i.e.}éá
m_T(t)=\prod_{i}(t-\lambda_i)\\ \text{com todos os fatores \((t-\lambda_i)\) distintos.}
Explicação rápida: se um fator aparece repetido, isso força a presença de blocos de Jordan não diagonais; se todos os fatores são distintos, a transformação age como escala em cada autovetor e não há blocos não triviais.

Passo 6

Algoritmo prático (o que faço numa prova para testar se um T é diagonalizável):
  1. Escolho uma base qualquer e escrevo a matriz A de T.
  2. Calculo o polinômio característico p_A(t)=\det(tI-A).
  3. Fatoro p_A(t) sobre \mathbb{R}. Se ele não se fatorar totalmente em fatores lineares reais (ou seja, aparecem raízes complexas não reais), então T não é diagonalizável sobre \mathbb{R} (pode ser sobre \mathbb{C}).
  4. Para cada raiz \lambda (autovalor), calculo E_\lambda=\ker(A-\lambda I) e sua dimensão m_g(\lambda).
  5. Comparo m_g(\lambda) com a multiplicidade algébrica m_a(\lambda) obtida na fatoração. Se para todo \lambda eu tiver m_g(\lambda)=m_a(\lambda) e a soma dá n, então T é diagonalizável; caso contrário não é.

Passo 7

Exemplos e intuição curta — faça assim na prova:
  • Caso simples: se a matriz A tem n autovalores distintos (ou seja, o polinômio característico tem n raízes distintas no campo), então T é automaticamente diagonalizável. Razão: autovalores distintos garantem autovetores linearmente independentes.
  • Exemplo concreto 1 (diagonalizável):
A=\begin{pmatrix}2 & 0\\[2pt] 0 & 3\end{pmatrix}.
Aqui já é diagonal, então é diagonalizável; autovalores \lambda_1=2,\\ \lambda_2=3, ambos com m_a=1 e m_g=1.
  • Exemplo concreto 2 (não diagonalizável):
A=\begin{pmatrix}2 & 1\\[2pt] 0 & 2\end{pmatrix}.
O polinômio característico é (t-2)^2, logo \lambda=2 tem m_a(2)=2. Calculando \ker(A-2I) obtemos os vetores proporcionais a \begin{pmatrix}1\\[2pt]0\end{pmatrix}, então m_g(2)=1. Como m_g(2)\ne m_a(2), não há base de autovetores e A (portanto T) não é diagonalizável.]

Passo 8

Observações finais e dicas de prova:
  • Lembre-se do campo: aqui V é sobre \mathbb{R}. Um operador pode não ser diagonalizável sobre \mathbb{R} apenas porque tem autovalores complexos; nesse caso pode ser diagonalizável sobre \mathbb{C}. Sempre esclareça sobre qual corpo (campo) você está trabalhando.
  • Uma maneira rápida de concluir diagonalizabilidade sem calcular todas as dimensões de autespaços é usar o fato: se o polinômio característico se factoriza em n raízes (com multiplicidade) e o polinômio minimal tem somente raízes simples (sem multiplicidade maior que 1), então é diagonalizável.
  • Não esqueça: diagonalizável = existe base de autovetores = matriz semelhante a uma diagonal.

Resposta

T é diagonalizável se, e somente se, existe uma base de V formada por autovetores de T. Equivalentes: a matriz de T é semelhante a uma matriz diagonal; para cada autovalor \lambda vale m_g(\lambda)=m_a(\lambda) (multiplicidade geométrica igual à algébrica); equivalentemente o polinômio minimal de T se factoriza como produto de fatores lineares distintos sobre \mathbb{R}.

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