Seja V um espaço vetorial de dimensão finita sobre
.
Quando um operador
se diz diagonalizável?
Quando um operador
Passo 1
O enunciado diz: temos um espaço vetorial
de dimensão finita sobre
e um operador linear
. A pergunta é: quando dizemos que
é diagonalizável?
Informações dadas: é finito dimensional (tem uma dimensão
finita) e
é um operador linear sobre
.
O que se pede: uma condição (ou condições equivalentes) que caracterize quando chamamos de diagonalizável.
Informações dadas:
O que se pede: uma condição (ou condições equivalentes) que caracterize quando chamamos
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é autovalor e autovetor (isso é essencial). Dizemos que
é um autovalor de
se existe um vetor não nulo
tal que
Tal vetor
chama-se autovetor correspondente a
. O conjunto de todos os autovetores de
junto com o vetor
forma o subespaço denominado autespaço (ou espaço próprio)
A dimensão de
é chamada de multiplicidade geométrica de
. Já a multiplicidade algébrica de
é a multiplicidade de
como raiz do polinômio característico de
(ou da matriz de
em qualquer base).
Passo 3
Definição direta (a mais usada em provas): dizemos que
é diagonalizável se existe uma base de
formada por autovetores de
. Ou seja, se existirem
vetores linearmente independentes
tais que cada
satisfaz
para algum
.
Explicando por que isso se chama “diagonalizável”: se temos uma base de autovetores, a matriz de nessa base é diagonal, com os autovalores na diagonal. Inversamente, se a matriz de
em alguma base é diagonal, as colunas dessa matriz descrevem autovetores, então há uma base de autovetores.
Explicando por que isso se chama “diagonalizável”: se temos uma base de autovetores, a matriz de
Passo 4
Condição prática via multiplicidades (muito útil em provas): seja
o polinômio característico de
(obtido como
para qualquer matriz
da transformação). Para cada autovalor
temos duas quantidades:
- multiplicidade algébrica:
= multiplicidade de como raiz de ; - multiplicidade geométrica:
.
Teorema prático:
é diagonalizável se, e somente se, para todo autovalor
vale
ou equivalentemente se a soma das dimensões dos autespaços é
. Intuição e razão: precisamos de
autovetores LI; os autespaços fornecem vetores por autovalor e a condição garante que juntando-os obtemos dimensão total
.
Passo 5
Condição via polinômio minimal (uma outra equivalência útil): defina o polinômio minimal
como o polinômio monico de menor grau tal que
. Então:
Explicação rápida: se um fator aparece repetido, isso força a presença de blocos de Jordan não diagonais; se todos os fatores são distintos, a transformação age como escala em cada autovetor e não há blocos não triviais.
Passo 6
Algoritmo prático (o que faço numa prova para testar se um
é diagonalizável):
- Escolho uma base qualquer e escrevo a matriz
de . - Calculo o polinômio característico
. - Fatoro
sobre . Se ele não se fatorar totalmente em fatores lineares reais (ou seja, aparecem raízes complexas não reais), então não é diagonalizável sobre (pode ser sobre ). - Para cada raiz
(autovalor), calculo e sua dimensão . - Comparo
com a multiplicidade algébrica obtida na fatoração. Se para todo eu tiver e a soma dá , então é diagonalizável; caso contrário não é.
Passo 7
Exemplos e intuição curta — faça assim na prova:
- Caso simples: se a matriz
tem autovalores distintos (ou seja, o polinômio característico tem raízes distintas no campo), então é automaticamente diagonalizável. Razão: autovalores distintos garantem autovetores linearmente independentes. - Exemplo concreto 1 (diagonalizável):
Aqui já é diagonal, então é diagonalizável; autovalores
, ambos com
e
.
- Exemplo concreto 2 (não diagonalizável):
O polinômio característico é
, logo
tem
. Calculando
obtemos os vetores proporcionais a
, então
. Como
, não há base de autovetores e
(portanto
) não é diagonalizável.]
Passo 8
Observações finais e dicas de prova:
- Lembre-se do campo: aqui
é sobre . Um operador pode não ser diagonalizável sobre apenas porque tem autovalores complexos; nesse caso pode ser diagonalizável sobre . Sempre esclareça sobre qual corpo (campo) você está trabalhando. - Uma maneira rápida de concluir diagonalizabilidade sem calcular todas as dimensões de autespaços é usar o fato: se o polinômio característico se factoriza em
raízes (com multiplicidade) e o polinômio minimal tem somente raízes simples (sem multiplicidade maior que 1), então é diagonalizável. - Não esqueça: diagonalizável = existe base de autovetores = matriz semelhante a uma diagonal.