Seja V um espaço vetorial real. Nos itens abaixo, determine se o subconjunto W é um subespaço de V.
W=(x, y, z) in R^3 mid y é irracional

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
W=(x,y,z)inR^3mid y é irracionalé
é um subespaço do espaço vetorial V=R^3. Para isso, lembramos que um subespaço deve satisfazer três propriedades:
  1. Conter o vetor zero.
  2. Ser fechado sob adição.
  3. Ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos a primeira propriedade: o vetor zero é (0,0,0). Nesse vetor, a coordenada y=0 que é um número racional. Logo
(0,0,0)notin W
porque 0 não é irracional. Como W não contém o vetor zero, ele já falha em ser subespaço, sem precisar testar as outras propriedades.

Resposta

W não é subespaço de V.

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