Verifique em cada item a seguir se W é um subespaço vetorial de V.
V=Mn(C), n >= 2, sobre o corpo R.
W=A in V ; A é matriz hermitiana, isto é, A=barA^Téé

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial V = Mn(C) considerado sobre o corpo R, e o conjunto
W = A in V mid A = bar A^T,
isto é, as matrizes hermitianas. Para mostrar que W é subespaço de V (sobre R), precisamos verificar que
  1. Wneqemptyset,
  2. se A,Bin W então A+Bin W,
  3. se Ain W e rinR então rAin W.

Passo 2

Verificamos que W não é vazio ao notar que a matriz zero 0 satisfaz
0 = bar 0^T,
logo 0in W.

Passo 3

Sejam A,Bin W. Então
A = bar A^T e B = bar B^T
Logo
(A+B)^T = bar A^T + bar B^T = A + B,
o que mostra que A+Bin W.

Passo 4

Seja Ain W e rinR. Como A = bar A^T e bar r = r (pois r é real), temos
(rA)^T = bar r,bar A^T = rA,
portanto rAin W.

Resposta

W é um subespaço vetorial de V sobre R.

Exercícios relacionados