Verifique em cada item a seguir se
é um subespaço vetorial de
.
, sobre o corpo
.
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial
sobre o corpo
, e o subconjunto
isto é, o conjunto das matrizes hermitianas. Para mostrar que
é subespaço de
(sobre
) precisamos checar três propriedades:
-
. - Fechamento sob soma: se
então . - Fechamento sob multiplicação escalar: para todo
e , .
Passo 2
Verificamos que o elemento nulo de
, isto é, a matriz zero
, é hermitiana:
logo
.
Passo 3
Sejam
. Então
Logo
onde usamos que
bar A^T=A e
bar B^T=B . Portanto
A+B é hermitiana e
A+Bin W .
Passo 4
Seja
lambdainC e
Ain W . Então
Para termos
lambda Ain W precisaríamos
isto é
barlambda,A = lambda A para toda
A . Isso só ocorre se
barlambda = lambda , ou seja,
lambdainR . Como
lambda varia em
C , essa propriedade falha em geral.
Passo 5
Conclusão:
W não é fechado sob multiplicação por escalares em
C , logo não é subespaço vetorial de
V sobre
C .