Verifique em cada item a seguir se W é um subespaço vetorial de V.
V=Mn(C), n >= 2, sobre o corpo C.
W=A in V ; A é matriz hermitiana, isto é, A=barA^Téé

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial
V = Mn(C),;n>=2,
sobre o corpo C, e o subconjunto
W = Ain V mid A = bar A^T,
isto é, o conjunto das matrizes hermitianas. Para mostrar que W é subespaço de V (sobre C) precisamos checar três propriedades:
  1. 0in W.
  2. Fechamento sob soma: se A,Bin W então A+Bin W.
  3. Fechamento sob multiplicação escalar: para todo lambdainC e Ain W, lambda Ain W.

Passo 2

Verificamos que o elemento nulo de V, isto é, a matriz zero 0, é hermitiana:
0 = 0^T,
logo 0in W.

Passo 3

Sejam A,Bin W. Então
A = bar A^T e B = bar B^T
Logo
(A+B)^* = A+B^T = bar A^T + bar B^T = A + B,
onde usamos que bar A^T=A e bar B^T=B. Portanto A+B é hermitiana e A+Bin W.

Passo 4

Seja lambdainC e Ain W. Então
(lambda A)^* = lambda A^T = barlambda,bar A^T = barlambda,A
Para termos lambda Ain W precisaríamos
(lambda A)^* = lambda A,
isto é barlambda,A = lambda A para toda A. Isso só ocorre se barlambda = lambda, ou seja, lambdainR. Como lambda varia em C, essa propriedade falha em geral.

Passo 5

Conclusão: W não é fechado sob multiplicação por escalares em C, logo não é subespaço vetorial de V sobre C.

Resposta

W não é subespaço vetorial de V sobre o corpo C.

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