Seja V um espaço vetorial sobre um corpo F de característica \neq 2 e sejam \rho e \sigma projeções. Prove o seguinte:
A diferença \rho-\sigma é uma projeção se, e somente se,
\rho \sigma=\sigma \rho=\sigma
Nesse caso,
\operatorname{im}(\rho-\sigma)=\operatorname{im}(\rho) \cap \operatorname{ker}(\sigma) \quad \text { e } \quad \operatorname{ker}(\rho-\sigma)=\operatorname{ker}(\rho) \oplus \operatorname{im}(\sigma) .
Dica: \rho é uma projeção se, e somente se, I-\rho é uma projeção, e \rho-\sigma é uma projeção se, e somente se
\theta=I-(\rho-\sigma)=(I-\rho)+\sigma
é uma projeção.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue.
  • Dado: V é um espaço vetorial sobre um corpo F cuja característica é \neq 2.
  • Dado: \rho:V\to V e \sigma:V\to V são projeções, ou seja \rho^2=\rho,\qquad \sigma^2=\sigma.
  • Pedido principal: provar que a diferença \rho-\sigma é uma projeção se, e somente se, \rho\sigma=\sigma\rho=\sigma.
  • Pedido secundário: supondo que \rho-\sigma seja projeção (logo sob as igualdades acima), mostrar que \operatorname{im}(\rho-\sigma)=\operatorname{im}(\rho)\cap\operatorname{ker}(\sigma)e \operatorname{ker}(\rho-\sigma)=\operatorname{ker}(\rho)\oplus\operatorname{im}(\sigma).
Observação: a dica sugere usar a equivalência entre ser projeção e o complementar I-p ser projeção; isso será usado indiretamente ao trabalhar com a identidade p^2=p aplicada a p=\rho-\sigma.

Passo 2

Recordando o que significa ser projeção (mini-aula rápida e necessária).
  • Definição: uma transformação linear p:V\to V é uma projeção quando p^2=p,isto é, aplicar p duas vezes é o mesmo que aplicá-la uma vez. Equivalente: p é idempotente.
  • Propriedade útil: se p é projeção então todo vetor v\in V se decompõe unicamente como v = (v-p(v)) + p(v),com v-p(v)\in\ker(p) e p(v)\in\operatorname{im}(p); e \ker(p)\cap\operatorname{im}(p)=\{0\}.
  • Observação técnica: quando trabalharmos com equações que envolvem o escalar 2 precisaremos dividir por 2; por isso é fundamental a hipótese \operatorname{char}(F)\neq 2.

Passo 3

Escrever a condição de projeção para p=\rho-\sigma e expandir (passo-alvo: obter uma relação entre \rho\sigma e \sigma\rho).
  • p=\rho-\sigma é projeção \iff p^2=p.
  • Calcular p^2: p^2=(\rho-\sigma)^2=\rho^2-\rho\sigma-\sigma\rho+\sigma^2.Usando \rho^2=\rho e \sigma^2=\sigma obtemos p^2=\rho-\rho\sigma-\sigma\rho+\sigma.
  • A igualdade p^2=p \rho-\rho\sigma-\sigma\rho+\sigma=\rho-\sigma.Subtraindo \rho-\sigma dos dois lados: -\rho\sigma-\sigma\rho+2\sigma=0.Rearranjando: \rho\sigma+\sigma\rho=2\sigma.Assim, condição necessária e suficiente para p ser projeção é \rho\sigma+\sigma\rho=2\sigma.

Passo 4

A partir de \rho\sigma+\sigma\rho=2\sigma deduzir que \rho\sigma=\sigma\rho=\sigma. (Aqui é onde usamos \operatorname{char}(F)\neq 2 e argumentos de multiplicação por I-\sigma.)
  • Multiplicar a igualdade \rho\sigma+\sigma\rho=2\sigma à esquerda por I-\sigma. Note que (I-\sigma)\sigma=0. Assim (I-\sigma)(\rho\sigma+\sigma\rho)=(I-\sigma)2\sigma=0.Expandindo o lado esquerdo: (I-\sigma)\rho\sigma+(I-\sigma)\sigma\rho=(I-\sigma)\rho\sigma+0=(I-\sigma)\rho\sigma=0.Portanto (I-\sigma)\rho\sigma=0\quad\Longrightarrow\quad \rho\sigma=\sigma\rho\sigma.
  • Agora multiplicar \rho\sigma+\sigma\rho=2\sigma à direita por I-\sigma. Como \sigma(I-\sigma)=0, (\rho\sigma+\sigma\rho)(I-\sigma)=2\sigma(I-\sigma)=0.Expandindo: \rho\sigma(I-\sigma)+\sigma\rho(I-\sigma)=\rho\sigma-\rho\sigma^2+\sigma\rho-\sigma\rho\sigma=\sigma\rho-\sigma\rho\sigma=0.Logo \sigma\rho=\sigma\rho\sigma.
  • Das duas identidades obtidas temos \rho\sigma=\sigma\rho\sigma=\sigma\rho.Substituindo numa das equações iniciais \rho\sigma+\sigma\rho=2\sigma obtemos 2\rho\sigma=2\sigma.Como \operatorname{char}(F)\neq 2 podemos dividir por 2 e concluir \rho\sigma=\sigma.Como \sigma\rho=\rho\sigma, segue também \sigma\rho=\sigma. Portanto a condição obtida em Passo 3 implica \rho\sigma=\sigma\rho=\sigma.

Passo 5

Mostrar a recíproca: se \rho\sigma=\sigma\rho=\sigma então \rho-\sigma é projeção.
  • Suponha \rho\sigma=\sigma\rho=\sigma.
  • Calcular (\rho-\sigma)^2: (\rho-\sigma)^2=\rho^2-\rho\sigma-\sigma\rho+\sigma^2=\rho-\sigma-\sigma+\sigma=\rho-\sigma.Aqui usamos \rho^2=\rho, \sigma^2=\sigma e \rho\sigma=\sigma\rho=\sigma. Assim (\rho-\sigma)^2=\rho-\sigma, ou seja \rho-\sigma é idempotente, portanto projeção.
  • Conclusão lógica combinada: \rho-\sigma é projeção \iff \rho\sigma+\sigma\rho=2\sigma (Passo 3) \iff \rho\sigma=\sigma\rho=\sigma (Passo 4). Isso prova a equivalência pedida.

Passo 6

Agora, sob a hipótese \rho\sigma=\sigma\rho=\sigma, mostrar a fórmula para a imagem:
\operatorname{im}(\rho-\sigma)=\operatorname{im}(\rho)\cap\operatorname{ker}(\sigma).
Provar as duas inclusões.
  • Inclusão \subset. Seja w\in\operatorname{im}(\rho-\sigma). Então existe x\in V tal que w=(\rho-\sigma)(x)=\rho(x)-\sigma(x).Primeiro calcule \sigma(w): \sigma(w)=\sigma\rho(x)-\sigma^2(x)=\sigma(x)-\sigma(x)=0,pois \sigma\rho=\sigma e \sigma^2=\sigma. Logo w\in\ker(\sigma).
    Em segundo lugar, verifique que w\in\operatorname{im}(\rho) porque \rho(w)=\rho(\rho(x)-\sigma(x))=\rho(x)-\rho\sigma(x)=\rho(x)-\sigma(x)=w,usando \rho\sigma=\sigma. Como \rho(w)=w, segue w\in\operatorname{im}(\rho). Portanto w\in\operatorname{im}(\rho)\cap\ker(\sigma).
  • Inclusão \supset. Seja v\in\operatorname{im}(\rho)\cap\ker(\sigma). Então existe u com v=\rho(u) e \sigma(v)=0. Calcule (\rho-\sigma)(v)=\rho(v)-\sigma(v)=\rho(\rho(u))-0=\rho(u)=v.Ou seja v é fixado por \rho-\sigma, portanto v\in\operatorname{im}(\rho-\sigma). Assim \operatorname{im}(\rho)\cap\ker(\sigma)\subset\operatorname{im}(\rho-\sigma).
Juntando, obtemos a igualdade desejada:
\operatorname{im}(\rho-\sigma)=\operatorname{im}(\rho)\cap\operatorname{ker}(\sigma).

Passo 7

Agora provar a fórmula para o núcleo:
\operatorname{ker}(\rho-\sigma)=\operatorname{ker}(\rho)\oplus\operatorname{im}(\sigma).
Fazemos em etapas: mostrar \operatorname{ker}(\rho)+\operatorname{im}(\sigma)=\operatorname{ker}(\rho-\sigma) e depois mostraremos que a soma é direta.
  • Mostre \operatorname{ker}(\rho)+\operatorname{im}(\sigma)\subset\operatorname{ker}(\rho-\sigma). Tome u\in\ker(\rho) e v=\sigma(y)\in\operatorname{im}(\sigma). Então
    (\rho-\sigma)(u+v)=\rho(u)+\rho(v)-\sigma(u)-\sigma(v)=0+\rho\sigma(y)-0-\sigma(y)=\sigma(y)-\sigma(y)=0,
    porque \rho(u)=0, \sigma(u) é bem definido e usamos \rho\sigma=\sigma. Logo toda soma u+v está em \ker(\rho-\sigma). Assim \operatorname{ker}(\rho)+\operatorname{im}(\sigma)\subset\operatorname{ker}(\rho-\sigma).
  • Mostre \operatorname{ker}(\rho-\sigma)\subset\operatorname{ker}(\rho)+\operatorname{im}(\sigma). Seja x\in\ker(\rho-\sigma), ou seja \rho(x)=\sigma(x). Escreva
    x=(x-\sigma(x))+\sigma(x).
    Observa-se que \sigma(x)\in\operatorname{im}(\sigma). E
    \rho(x-\sigma(x))=\rho(x)-\rho\sigma(x)=\sigma(x)-\sigma(x)=0,
    usando \rho(x)=\sigma(x) e \rho\sigma=\sigma. Portanto x-\sigma(x)\in\ker(\rho). Assim x é soma de um elemento de \ker(\rho) com um de \operatorname{im}(\sigma), o que prova \operatorname{ker}(\rho-\sigma)\subset\operatorname{ker}(\rho)+\operatorname{im}(\sigma).
  • Soma direta: precisamos mostrar \ker(\rho)\cap\operatorname{im}(\sigma)=\{0\}. Se z\in\ker(\rho)\cap\operatorname{im}(\sigma), então z=\sigma(y) para algum y e \rho(z)=0. Mas
    \rho(z)=\rho\sigma(y)=\sigma(y)=z,
    usando \rho\sigma=\sigma. Assim z=0. Portanto a interseção é trivial e a soma é direta.
Conclusão:
\operatorname{ker}(\rho-\sigma)=\operatorname{ker}(\rho)\oplus\operatorname{im}(\sigma).

Resposta

\rho-\sigma é projeção se, e somente se, \rho\sigma=\sigma\rho=\sigma.
\operatorname{im}(\rho-\sigma)=\operatorname{im}(\rho)\cap\operatorname{ker}(\sigma)
\operatorname{ker}(\rho-\sigma)=\operatorname{ker}(\rho)\oplus\operatorname{im}(\sigma)

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