Seja
um espaço vetorial sobre um corpo
de característica
e sejam
e
projeções. Prove o seguinte:
A diferença
é uma projeção se, e somente se,
Nesse caso,
Dica:
é uma projeção se, e somente se,
é uma projeção, e
é uma projeção se, e somente se
é uma projeção.
A diferença
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue.
- Dado:
é um espaço vetorial sobre um corpo cuja característica é . - Dado:
e são projeções, ou seja - Pedido principal: provar que a diferença
é uma projeção se, e somente se, - Pedido secundário: supondo que
seja projeção (logo sob as igualdades acima), mostrar que e
Observação: a dica sugere usar a equivalência entre ser projeção e o complementar
ser projeção; isso será usado indiretamente ao trabalhar com a identidade
aplicada a
.
Passo 2
Recordando o que significa ser projeção (mini-aula rápida e necessária).
- Definição: uma transformação linear
é uma projeção quando isto é, aplicar duas vezes é o mesmo que aplicá-la uma vez. Equivalente: é idempotente. - Propriedade útil: se
é projeção então todo vetor se decompõe unicamente como com e ; e . - Observação técnica: quando trabalharmos com equações que envolvem o escalar
precisaremos dividir por ; por isso é fundamental a hipótese .
Passo 3
Escrever a condição de projeção para
e expandir (passo-alvo: obter uma relação entre
e
).
-
é projeção . - Calcular
: Usando e obtemos - A igualdade
dá Subtraindo dos dois lados: Rearranjando: Assim, condição necessária e suficiente para ser projeção é
Passo 4
A partir de
deduzir que
. (Aqui é onde usamos
e argumentos de multiplicação por
.)
- Multiplicar a igualdade
à esquerda por . Note que . Assim Expandindo o lado esquerdo: Portanto - Agora multiplicar
à direita por . Como , Expandindo: Logo - Das duas identidades obtidas temos
Substituindo numa das equações iniciais obtemos Como podemos dividir por e concluir Como , segue também . Portanto a condição obtida em Passo 3 implica
Passo 5
Mostrar a recíproca: se
então
é projeção.
- Suponha
. - Calcular
: Aqui usamos , e . Assim , ou seja é idempotente, portanto projeção. - Conclusão lógica combinada:
é projeção (Passo 3) (Passo 4). Isso prova a equivalência pedida.
Passo 6
Agora, sob a hipótese
, mostrar a fórmula para a imagem:
Provar as duas inclusões.
- Inclusão
. Seja . Então existe tal que Primeiro calcule : pois e . Logo .
Em segundo lugar, verifique queporque usando . Como , segue . Portanto . - Inclusão
. Seja . Então existe com e . Calcule Ou seja é fixado por , portanto . Assim .
Juntando, obtemos a igualdade desejada:
Passo 7
Agora provar a fórmula para o núcleo:
Fazemos em etapas: mostrar
e depois mostraremos que a soma é direta.
-
Mostre
. Tome e . Então porque, é bem definido e usamos . Logo toda soma está em . Assim . -
Mostre
. Seja , ou seja . Escreva Observa-se que. E usandoe . Portanto . Assim é soma de um elemento de com um de , o que prova . -
Soma direta: precisamos mostrar
. Se , então para algum e . Mas usando. Assim . Portanto a interseção é trivial e a soma é direta.
Conclusão: