Seja 
a) todas as funções reais tais que 
b) todas as funções reais tais que 
c) todas as funções contínuas de 
a) todas as funções reais tais que
b) todas as funções reais tais que
c) todas as funções contínuas de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que verificar quais dos conjuntos de funções dadas são subespaços do espaço vetorial 
- Contém o vetor zero: ou seja, a função que sempre dá zero.
- Fechamento pela adição: se você pegar duas funções do conjunto e somar elas, o resultado também deve estar no conjunto.
- Fechamento pela multiplicação por escalar: se você multiplicar uma função do conjunto por um número real qualquer, o resultado também deve estar no conjunto.
Vamos analisar cada item (a, b, c) seguindo esses passos.
Passo 2
Item a) Todas as funções reais tais que 
Primeiro, vamos ver se a função zero está nesse conjunto:
- A função zero é 
. 
- Verificando 
e . 
- Então, 
é verdade para a função zero. 
Agora, vamos checar se o conjunto é fechado pela adição e pela multiplicação por escalar:
- Suponha 
e estão no conjunto, então e . 
- Vamos ver se 
está no conjunto: - 
. 
- 
. 
- Para 
, precisaríamos que para todo , o que nem sempre é verdade. 
 
- 
- Portanto, o conjunto não é fechado pela adição.
Como já quebramos uma das condições, não precisa verificar a multiplicação por escalar. Assim, esse conjunto não é um subespaço de 
Passo 3
Item b) Todas as funções reais tais que 
Vamos verificar as três condições:
- 
Função zero:- 
e . 
- Então, 
é verdadeiro para a função zero. 
 
- 
- 
Fechamento pela adição:- Se 
e , então para : - 
. 
- 
. 
- Como 
e , então . 
 
- 
 
- Se 
- 
Fechamento pela multiplicação por escalar:- Se 
, então para qualquer escalar : - 
. 
- 
. 
- Como 
, então . 
 
- 
 
- Se 
Todas as três condições são satisfeitas, então esse conjunto é um subespaço de 
Passo 4
Item c) Todas as funções contínuas de 
Vamos verificar as três condições:
- 
Função zero:- A função zero é contínua, então está no conjunto.
 
- 
Fechamento pela adição:- A soma de duas funções contínuas é contínua. Se 
e são contínuas, então também é. 
 
- A soma de duas funções contínuas é contínua. Se 
- 
Fechamento pela multiplicação por escalar:- Multiplicar uma função contínua por um escalar resulta em uma função contínua.
 
Como todas as condições são atendidas, esse conjunto é um subespaço de 
Resposta
a) Não é um subespaço.
b) É um subespaço.
c) É um subespaço.
