Seja 
(i) Existe único 
(ii) Para qualquer vetor 
(iii) Se 
(i) Existe único
(ii) Para qualquer vetor
(iii) Se
Passo 1
Vamos resumir o que o enunciado pede. Temos um espaço vetorial 
- Existe um único vetor 
em que, somado a qualquer vetor , resulta em outro vetor . 
- Multiplicar qualquer vetor 
por zero do corpo resulta no vetor zero. 
- Se a multiplicação de um escalar 
por um vetor dá o vetor zero, então ou é zero ou é o vetor zero. 
Para resolver isso, vamos usar as propriedades fundamentais dos espaços vetoriais, como a existência de elementos inversos e as regras de multiplicação por escalar.
Passo 2
Parte (i): Existe um único 
Primeiro, vamos entender que queremos encontrar um vetor 
Passo 3
Sabemos que em um espaço vetorial, para qualquer vetor 
Passo 4
Então, para encontrar 
Aqui, 
Passo 5
Agora, precisamos mostrar que esse 
Logo, 
Passo 6
Parte (ii): Para qualquer vetor 
Aqui, 
Passo 7
Usamos a propriedade da multiplicação por escalar que diz:
Isso faz parte das axiomas de um espaço vetorial, garantindo que multiplicar por zero sempre dá o vetor nulo.
Passo 8
Parte (iii): Se 
Queremos provar que se o produto de um escalar por um vetor é o vetor zero, então pelo menos um dos dois fatores deve ser zero.
Passo 9
Suponha que 
Isso implica que 
Resposta
Assim, comprovamos que:
(i) Existe um único vetor
(ii) Para qualquer vetor
(iii) Se
(i) Existe um único vetor
(ii) Para qualquer vetor
(iii) Se
