Seja V um \mathbb{C}-espaço com produto interno \langle-,-\rangle de dimensão finita. Prove que, para quaisquer u, v \in V
\langle u, v\rangle=\frac{\|u+v\|^{2}-\|u-v\|^{2}}{4}+\frac{\|u+i v\|^{2}-\|u-i v\|^{2}}{4} i

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos disponível.
  • Temos um \mathbb{C}-espaço vetorial V de dimensão finita equipado com produto interno \langle-,-\rangle.
  • Para quaisquer u,v\in V devemos provar a identidade
\langle u, v\rangle=\frac{\|u+v\|^{2}-\|u-v\|^{2}}{4}+\frac{\|u+i v\|^{2}-\|u-i v\|^{2}}{4} i.
  • Informação a usar: a norma é dada pela relação \|x\|^{2}=\langle x,x\rangle, e o produto interno é sesquilinear e conjugado-simétrico (ou seja, para quaisquer x,y vale \langle x,y\rangle=\overline{\langle y,x\rangle}; além disso \langle a x,y\rangle = a\langle x,y\rangle e \langle x, a y\rangle = \overline{a}\langle x,y\rangle para a\in\mathbb{C}).

Passo 2

Recordando como extrair partes real e imaginária de um número complexo e como isso se relaciona com o produto interno.
  • Se z\in\mathbb{C} então
\operatorname{Re} z=\frac{z+\overline{z}}{2},\qquad \operatorname{Im} z=\frac{z-\overline{z}}{2i}.
  • Para z=\langle u,v\rangle tem-se \overline{z}=\langle v,u\rangle por conjugado-simetria do produto interno. Assim, ao mostrar que a primeira fração da identidade dá \operatorname{Re}\langle u,v\rangle e a segunda fração (antes de multiplicar por i) dá \operatorname{Im}\langle u,v\rangle, estaremos prontos para recompor \langle u,v\rangle=\operatorname{Re}\langle u,v\rangle + i\,\operatorname{Im}\langle u,v\rangle.

Passo 3

Expansão de \|u+v\|^{2} e \|u-v\|^{2} para obter a parte real.
  • Usando \|x\|^{2}=\langle x,x\rangle e linearidade no primeiro argumento:
\begin{aligned} \|u+v\|^{2}&=\langle u+v,u+v\rangle =\langle u,u\rangle+\langle v,u\rangle+\langle u,v\rangle+\langle v,v\rangle,\\[4pt] \|u-v\|^{2}&=\langle u-v,u-v\rangle =\langle u,u\rangle-\langle v,u\rangle-\langle u,v\rangle+\langle v,v\rangle. \end{aligned}
  • Subtraindo essas duas expressões:
\|u+v\|^{2}-\|u-v\|^{2}=2\langle u,v\rangle+2\langle v,u\rangle.
  • Como \langle v,u\rangle=\overline{\langle u,v\rangle}, obtemos
\|u+v\|^{2}-\|u-v\|^{2}=2\bigl(\langle u,v\rangle+\overline{\langle u,v\rangle}\bigr)=4\,\operatorname{Re}\langle u,v\rangle.
  • Portanto a primeira fração da identidade é
\frac{\|u+v\|^{2}-\|u-v\|^{2}}{4}=\operatorname{Re}\langle u,v\rangle.]

Passo 4

Expansão de \|u+i v\|^{2} e \|u-i v\|^{2} para obter a parte imaginária.
  • Novamente usando \|x\|^{2}=\langle x,x\rangle, linearidade no primeiro argumento e conjugação no segundo:
\begin{aligned} \|u+i v\|^{2}&=\langle u+i v, u+i v\rangle =\langle u,u\rangle+\langle i v,u\rangle+\langle u,i v\rangle+\langle i v,i v\rangle,\\[4pt] \|u-i v\|^{2}&=\langle u-i v, u-i v\rangle =\langle u,u\rangle-\langle i v,u\rangle-\langle u,i v\rangle+\langle i v,i v\rangle. \end{aligned}
  • Calcule os termos cruzados usando \langle i v,u\rangle = i\langle v,u\rangle (linearidade no primeiro) e \langle u,i v\rangle = \overline{i}\langle u,v\rangle = -i\langle u,v\rangle (conjugado no segundo). Note também que \langle i v,i v\rangle=\|i v\|^{2}=|i|^{2}\|v\|^{2}=\|v\|^{2}, mas esses termos se cancelam na subtração.
  • Subtraindo:
\begin{aligned} \|u+i v\|^{2}-\|u-i v\|^{2} &=2\langle i v,u\rangle+2\langle u,i v\rangle\\[4pt] &=2\bigl(i\langle v,u\rangle - i\langle u,v\rangle\bigr)\\[4pt] &=2i\bigl(\langle v,u\rangle-\langle u,v\rangle\bigr). \end{aligned}
  • Usando \langle v,u\rangle=\overline{\langle u,v\rangle} e escrevendo z=\langle u,v\rangle, tem-se \overline{z}-z=-2i\,\operatorname{Im} z. Portanto
\|u+i v\|^{2}-\|u-i v\|^{2}=2i(\overline{z}-z)=2i(-2i\,\operatorname{Im} z)=4\,\operatorname{Im} z.
  • Assim a segunda fração da identidade é
\frac{\|u+i v\|^{2}-\|u-i v\|^{2}}{4}=\operatorname{Im}\langle u,v\rangle.]

Passo 5

Montagem final: soma das partes real e imaginária.
  • Pelo Passo 3 e Passo 4 já temos
\frac{\|u+v\|^{2}-\|u-v\|^{2}}{4}=\operatorname{Re}\langle u,v\rangle, \qquad \frac{\|u+i v\|^{2}-\|u-i v\|^{2}}{4}=\operatorname{Im}\langle u,v\rangle.
  • Multiplicando a segunda por i e somando com a primeira:
\operatorname{Re}\langle u,v\rangle + i\,\operatorname{Im}\langle u,v\rangle = \langle u,v\rangle.
  • Isto é exatamente a identidade pedida:
\langle u, v\rangle=\frac{\|u+v\|^{2}-\|u-v\|^{2}}{4}+\frac{\|u+i v\|^{2}-\|u-i v\|^{2}}{4} i.

Resposta

\langle u, v\rangle=\frac{\|u+v\|^{2}-\|u-v\|^{2}}{4}+\frac{\|u+i v\|^{2}-\|u-i v\|^{2}}{4} i.

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