Seja V um \mathbb{C}-espaço com produto interno \langle-,-\rangle de dimensão finita. Prove que, para quaisquer u, v \in V
\langle u, v\rangle=\frac{\|u+v\|^{2}-\|u-v\|^{2}}{4}+\frac{\|u+i v\|^{2}-\|u-i v\|^{2}}{4} i
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos disponível.
Temos um \mathbb{C}-espaço vetorial V de dimensão finita equipado com produto interno \langle-,-\rangle.
Para quaisquer u,v\in V devemos provar a identidade
\langle u, v\rangle=\frac{\|u+v\|^{2}-\|u-v\|^{2}}{4}+\frac{\|u+i v\|^{2}-\|u-i v\|^{2}}{4} i.
Informação a usar: a norma é dada pela relação \|x\|^{2}=\langle x,x\rangle, e o produto interno é sesquilinear e conjugado-simétrico (ou seja, para quaisquer x,y vale \langle x,y\rangle=\overline{\langle y,x\rangle}; além disso \langle a x,y\rangle = a\langle x,y\rangle e \langle x, a y\rangle = \overline{a}\langle x,y\rangle para a\in\mathbb{C}).
Passo 2
Recordando como extrair partes real e imaginária de um número complexo e como isso se relaciona com o produto interno.
Para z=\langle u,v\rangle tem-se \overline{z}=\langle v,u\rangle por conjugado-simetria do produto interno. Assim, ao mostrar que a primeira fração da identidade dá \operatorname{Re}\langle u,v\rangle e a segunda fração (antes de multiplicar por i) dá \operatorname{Im}\langle u,v\rangle, estaremos prontos para recompor \langle u,v\rangle=\operatorname{Re}\langle u,v\rangle + i\,\operatorname{Im}\langle u,v\rangle.
Passo 3
Expansão de \|u+v\|^{2} e \|u-v\|^{2} para obter a parte real.
Usando \|x\|^{2}=\langle x,x\rangle e linearidade no primeiro argumento:
Expansão de \|u+i v\|^{2} e \|u-i v\|^{2} para obter a parte imaginária.
Novamente usando \|x\|^{2}=\langle x,x\rangle, linearidade no primeiro argumento e conjugação no segundo:
\begin{aligned} \|u+i v\|^{2}&=\langle u+i v, u+i v\rangle =\langle u,u\rangle+\langle i v,u\rangle+\langle u,i v\rangle+\langle i v,i v\rangle,\\[4pt] \|u-i v\|^{2}&=\langle u-i v, u-i v\rangle =\langle u,u\rangle-\langle i v,u\rangle-\langle u,i v\rangle+\langle i v,i v\rangle. \end{aligned}
Calcule os termos cruzados usando \langle i v,u\rangle = i\langle v,u\rangle (linearidade no primeiro) e \langle u,i v\rangle = \overline{i}\langle u,v\rangle = -i\langle u,v\rangle (conjugado no segundo). Note também que \langle i v,i v\rangle=\|i v\|^{2}=|i|^{2}\|v\|^{2}=\|v\|^{2}, mas esses termos se cancelam na subtração.