Suponha que V is a \mathbb{R}-espaço vetorial.
(a) Mostrar que \langle u+v, u-v\rangle=\|u\|^{2}-\|v\|^{2}, \quad \forall u, v \in V.
(b) Mostrar que se \|u\|=\|v\|, então u+v e u-v são ortogonais.
(c) Use a parte (b) para mostrar que as diagonais de um Losango (rhombus) são ortogonais.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede três coisas:
  • Informação: V é um espaço vetorial sobre \mathbb{R} equipado com um produto interno denotado por \langle\cdot,\cdot\rangle. A norma associada é \|x\|=\sqrt{\langle x,x\rangle}.
  • Pedidos:
    (a) Mostrar que \langle u+v,\,u-v\rangle=\|u\|^{2}-\|v\|^{2} para todos u,v\in V.
    (b) Mostrar que, se \|u\|=\|v\|, então u+v e u-v são ortogonais.
    (c) Usar (b) para mostrar que as diagonais de um losango são ortogonais.

Passo 2

Vamos lembrar (explicar) as propriedades do produto interno e da norma que vamos usar — sem pular etapas:
  • Linearidade em cada argumento (no caso real, o produto interno é bilinear e simétrico). Em particular, para quaisquer x,y,z\in V vale \langle x+y,\,z\rangle = \langle x,\,z\rangle + \langle y,\,z\rangle,e, para escalares \alpha\in\mathbb{R}, \langle \alpha x,\,y\rangle = \alpha \langle x,\,y\rangle.
  • Simetria (para espaços reais): \langle x,\,y\rangle = \langle y,\,x\rangle.
  • Definição de norma pelo produto interno: \|x\|^2 = \langle x,\,x\rangle.
  • Definição de ortogonalidade: dois vetores x,y são ortogonais se, e somente se, \langle x,\,y\rangle = 0.
Vou usar exatamente essas propriedades, passo a passo, para calcular e concluir cada item.

Passo 3

Resolvendo (a). Começo calculando diretamente \langle u+v,\,u-v\rangle e aplicando linearidade no primeiro argumento e depois a linearidade no segundo argumento quando necessário:
\langle u+v,\,u-v\rangle
Pelo primeiro argumento linear:
\langle u+v,\,u-v\rangle = \langle u,\,u-v\rangle + \langle v,\,u-v\rangle.
Agora distribuo em cada termo (linearidade no segundo argumento ou, equivalentemente, aplicando a mesma propriedade duas vezes):
\langle u,\,u-v\rangle = \langle u,\,u\rangle - \langle u,\,v\rangle,
\langle v,\,u-v\rangle = \langle v,\,u\rangle - \langle v,\,v\rangle.
Somando essas duas expressões:
\langle u+v,\,u-v\rangle = \langle u,\,u\rangle - \langle u,\,v\rangle + \langle v,\,u\rangle - \langle v,\,v\rangle.
Agora uso a simetria do produto interno, \langle v,\,u\rangle=\langle u,\,v\rangle, para ver que os termos mistos se cancelam:
- \langle u,\,v\rangle + \langle v,\,u\rangle = -\langle u,\,v\rangle + \langle u,\,v\rangle = 0.
Portanto sobra
\langle u+v,\,u-v\rangle = \langle u,\,u\rangle - \langle v,\,v\rangle.
Finalmente, usando a definição da norma, \langle u,\,u\rangle=\|u\|^2 e \langle v,\,v\rangle=\|v\|^2, obtemos
\langle u+v,\,u-v\rangle = \|u\|^{2} - \|v\|^{2}.

Passo 4

Concluímos (a): a identidade pedida está provada pela expansão e cancelamento dos termos mistos devido à simetria do produto interno.

Passo 5

Resolvendo (b). Se \|u\|=\|v\|, então elevando ao quadrado obtemos \|u\|^{2}=\|v\|^{2}. Pela parte (a) então
\langle u+v,\,u-v\rangle = \|u\|^{2} - \|v\|^{2} = 0.
Pela definição de ortogonalidade, dois vetores são ortogonais exatamente quando o produto interno entre eles é zero. Assim u+v e u-v são ortogonais. Isso prova (b).

Passo 6

Resolvendo (c). Agora interpretamos geometricamente um losango em termos de vetores: escolha um vértice do losango e coloque a origem nesse vértice. Seja u o vetor que vai da origem ao vértice adjacente em um sentido e v o vetor que vai da origem ao outro vértice adjacente (ou seja, u e v representam dois lados adjacentes do losango, colocados com as caudas na mesma origem). Num losango, todos os lados têm o mesmo comprimento, logo
\|u\|=\|v\|.
As diagonais do paralelogramo formado por u e v (um losango é um paralelogramo com lados iguais) correspondem, como vetores, a u+v e a u-v:
  • Uma diagonal vai da origem até o vértice oposto e tem vetor \,u+v.
  • A outra diagonal, dependendo da escolha de origem, é dada por v-u, que é -(u-v); o sinal menos não altera a ortogonalidade (se x\perp y então -x\perp y também).
Como num losango \|u\|=\|v\|, pela parte (b) segue que u+v e u-v são ortogonais. Portanto as diagonais do losango são ortogonais.

Resposta

(a) \langle u+v,\,u-v\rangle=\|u\|^{2}-\|v\|^{2}.
(b) Se \|u\|=\|v\|, então u+v e u-v são ortogonais.
(c) As diagonais de um losango são ortogonais.

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