Suponha que
is a
-espaço vetorial.
(a) Mostrar que
.
(b) Mostrar que se
, então
e
são ortogonais.
(c) Use a parte (b) para mostrar que as diagonais de um Losango (rhombus) são ortogonais.
(a) Mostrar que
(b) Mostrar que se
(c) Use a parte (b) para mostrar que as diagonais de um Losango (rhombus) são ortogonais.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede três coisas:
- Informação:
é um espaço vetorial sobre equipado com um produto interno denotado por . A norma associada é . - Pedidos:
(a) Mostrar quepara todos .
(b) Mostrar que, se, então e são ortogonais.
(c) Usar (b) para mostrar que as diagonais de um losango são ortogonais.
Passo 2
Vamos lembrar (explicar) as propriedades do produto interno e da norma que vamos usar — sem pular etapas:
- Linearidade em cada argumento (no caso real, o produto interno é bilinear e simétrico). Em particular, para quaisquer
vale e, para escalares , - Simetria (para espaços reais):
- Definição de norma pelo produto interno:
- Definição de ortogonalidade: dois vetores
são ortogonais se, e somente se,
Vou usar exatamente essas propriedades, passo a passo, para calcular e concluir cada item.
Passo 3
Resolvendo (a). Começo calculando diretamente
e aplicando linearidade no primeiro argumento e depois a linearidade no segundo argumento quando necessário:
Pelo primeiro argumento linear:
Agora distribuo em cada termo (linearidade no segundo argumento ou, equivalentemente, aplicando a mesma propriedade duas vezes):
Somando essas duas expressões:
Agora uso a simetria do produto interno,
, para ver que os termos mistos se cancelam:
Portanto sobra
Finalmente, usando a definição da norma,
e
, obtemos
Passo 4
Concluímos (a): a identidade pedida está provada pela expansão e cancelamento dos termos mistos devido à simetria do produto interno.
Passo 5
Resolvendo (b). Se
, então elevando ao quadrado obtemos
. Pela parte (a) então
Pela definição de ortogonalidade, dois vetores são ortogonais exatamente quando o produto interno entre eles é zero. Assim
e
são ortogonais. Isso prova (b).
Passo 6
Resolvendo (c). Agora interpretamos geometricamente um losango em termos de vetores: escolha um vértice do losango e coloque a origem nesse vértice. Seja
o vetor que vai da origem ao vértice adjacente em um sentido e
o vetor que vai da origem ao outro vértice adjacente (ou seja,
e
representam dois lados adjacentes do losango, colocados com as caudas na mesma origem). Num losango, todos os lados têm o mesmo comprimento, logo
As diagonais do paralelogramo formado por
e
(um losango é um paralelogramo com lados iguais) correspondem, como vetores, a
e a
:
- Uma diagonal vai da origem até o vértice oposto e tem vetor
. - A outra diagonal, dependendo da escolha de origem, é dada por
, que é ; o sinal menos não altera a ortogonalidade (se então também).
Como num losango
, pela parte (b) segue que
e
são ortogonais. Portanto as diagonais do losango são ortogonais.
Resposta
(a)
(b) Se
, então
e
são ortogonais.
(c) As diagonais de um losango são ortogonais.