Seja V um \mathbb{R}-espaço com produto interno \langle-,-\rangle de dimensão finita. Prove que, para quaisquer u, v \in V
\langle u, v\rangle=\frac{\|u+v\|^{2}-\|u-v\|^{2}}{4}

Passo 1

O enunciado dá que V é um espaço vetorial real com produto interno \langle-,-\rangle e que u,v\in V. Pede-se provar a identidade
\langle u, v\rangle=\frac{\|u+v\|^{2}-\|u-v\|^{2}}{4}.
Informações relevantes que temos (tiradas do enunciado ou que decorrem da definição):
  • A norma é a norma induzida pelo produto interno, ou seja, para qualquer x\in V vale \|x\|=\sqrt{\langle x,x\rangle} e portanto \|x\|^{2}=\langle x,x\rangle.
  • O produto interno em um espaço real satisfaz, entre outras, as propriedades de bilinearidade e simetria:
    • bilinearidade: para quaisquer a,b,c\in V e escalares \alpha,\beta\in\mathbb{R}, \langle \alpha a+\beta b, c\rangle=\alpha\langle a,c\rangle+\beta\langle b,c\ranglee análogo na segunda componente;
    • simetria: para quaisquer x,y\in V vale \langle x,y\rangle=\langle y,x\rangle.
  • Objetivo claro: deduzir a igualdade pedida a partir das propriedades acima.

Passo 2

Vamos escrever a norma ao quadrado de u+v usando a relação \|x\|^{2}=\langle x,x\rangle e a bilinearidade do produto interno. Primeiro, por definição,
\|u+v\|^{2}=\langle u+v,u+v\rangle.
Agora expandimos o lado direito usando bilinearidade (distribuição em cada componente):
\langle u+v,u+v\rangle=\langle u,u\rangle+\langle u,v\rangle+\langle v,u\rangle+\langle v,v\rangle.
Pela simetria do produto interno \langle v,u\rangle=\langle u,v\rangle. Assim os termos do meio somam duas vezes \langle u,v\rangle, ficando
\|u+v\|^{2}=\langle u,u\rangle+2\langle u,v\rangle+\langle v,v\rangle.

Passo 3

Agora calculamos a norma ao quadrado de u-v da mesma maneira. Por definição,
\|u-v\|^{2}=\langle u-v,u-v\rangle.
Expandindo com bilinearidade:
\langle u-v,u-v\rangle=\langle u,u\rangle-\langle u,v\rangle-\langle v,u\rangle+\langle v,v\rangle.
Usando novamente \langle v,u\rangle=\langle u,v\rangle, os termos do meio somam -2\langle u,v\rangle. Portanto
\|u-v\|^{2}=\langle u,u\rangle-2\langle u,v\rangle+\langle v,v\rangle.

Passo 4

Subtraímos agora as duas expressões obtidas em blocos para eliminar \langle u,u\rangle e \langle v,v\rangle. Fazendo \|u+v\|^{2}-\|u-v\|^{2} temos
\big(\langle u,u\rangle+2\langle u,v\rangle+\langle v,v\rangle\big)-\big(\langle u,u\rangle-2\langle u,v\rangle+\langle v,v\rangle\big).
Ao abrir parênteses e cancelar \langle u,u\rangle e \langle v,v\rangle, sobra
\|u+v\|^{2}-\|u-v\|^{2}=4\langle u,v\rangle.

Passo 5

Dividindo ambos os lados da igualdade anterior por 4 obtemos exatamente a identidade desejada:
\langle u,v\rangle=\frac{\|u+v\|^{2}-\|u-v\|^{2}}{4}.
Prontinho — a prova está completa.

Passo 6

Uma dica prática para a prova: quando vir expressões com \|u\pm v\|^{2} pense imediatamente em expandir como \langle u\pm v,u\pm v\rangle e usar bilinearidade + simetria para isolar \langle u,v\rangle. Isso evita cálculos desnecessários. Observação: em espaços complexos a fórmula muda (aparece parte real e fatores i); esta forma acima vale para espaços reais.

Passo 7

Para fixar: um pequeno exemplo numérico em \mathbb{R}^{2} com o produto interno usual (produto escalar) confirma a identidade. Tome u=(1,2) e v=(3,-1). Então \langle u,v\rangle=1\cdot3+2\cdot(-1)=3-2=1. Calcula-se \|u+v\|^{2}=\|(4,1)\|^{2}=4^{2}+1^{2}=17 e \|u-v\|^{2}=\|(-2,3)\|^{2}=(-2)^{2}+3^{2}=13. Assim
\frac{\|u+v\|^{2}-\|u-v\|^{2}}{4}=\frac{17-13}{4}=\frac{4}{4}=1,
coincidindo com \langle u,v\rangle. É um checagem rápida que ajuda a ganhar confiança.

Resposta

\langle u, v\rangle=\dfrac{\|u+v\|^{2}-\|u-v\|^{2}}{4}

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