Seja
um
-espaço com produto interno
de dimensão finita. Prove que, para quaisquer
Passo 1
O enunciado dá que
é um espaço vetorial real com produto interno
e que
. Pede-se provar a identidade
Informações relevantes que temos (tiradas do enunciado ou que decorrem da definição):
- A norma é a norma induzida pelo produto interno, ou seja, para qualquer
vale e portanto . - O produto interno em um espaço real satisfaz, entre outras, as propriedades de bilinearidade e simetria:
- bilinearidade: para quaisquer
e escalares , e análogo na segunda componente; - simetria: para quaisquer
vale .
- bilinearidade: para quaisquer
- Objetivo claro: deduzir a igualdade pedida a partir das propriedades acima.
Passo 2
Vamos escrever a norma ao quadrado de
usando a relação
e a bilinearidade do produto interno. Primeiro, por definição,
Agora expandimos o lado direito usando bilinearidade (distribuição em cada componente):
Pela simetria do produto interno
. Assim os termos do meio somam duas vezes
, ficando
Passo 3
Agora calculamos a norma ao quadrado de
da mesma maneira. Por definição,
Expandindo com bilinearidade:
Usando novamente
, os termos do meio somam
. Portanto
Passo 4
Subtraímos agora as duas expressões obtidas em blocos para eliminar
e
. Fazendo
temos
Ao abrir parênteses e cancelar
e
, sobra
Passo 5
Dividindo ambos os lados da igualdade anterior por
obtemos exatamente a identidade desejada:
Prontinho — a prova está completa.
Passo 6
Uma dica prática para a prova: quando vir expressões com
pense imediatamente em expandir como
e usar bilinearidade + simetria para isolar
. Isso evita cálculos desnecessários. Observação: em espaços complexos a fórmula muda (aparece parte real e fatores
); esta forma acima vale para espaços reais.
Passo 7
Para fixar: um pequeno exemplo numérico em
com o produto interno usual (produto escalar) confirma a identidade. Tome
e
. Então
. Calcula-se
e
. Assim
coincidindo com
. É um checagem rápida que ajuda a ganhar confiança.