Utilizando a regra da função composta, obtenha a derivada de cada função:
F(x)=\cos (\operatorname{sen} x)

Passo 1

O enunciado dá a função F(x)=\cos(\operatorname{sen} x) e pede a derivada F'(x).
Informações relevantes do enunciado:
  • A função é composição de duas funções: uma externa f(u)=\cos u e uma interna g(x)=\operatorname{sen} x.
  • Quer-se obter a derivada em relação a x.

Passo 2

Ideia de resolução (sem resolver ainda): para diferenciar uma composição F(x)=f(g(x)) usa-se a regra da função composta (regra da cadeia). Vou primeiro escrever a regra e explicar o que cada símbolo significa.
Regra da cadeia (forma geral):
\frac{d}{dx}f(g(x))=f'(g(x))\cdot g'(x).
Explicando: f é a função externa, g é a função interna. A notação f'(g(x)) significa "derivar f em relação à sua variável (digamos u) e depois substituir u=g(x)". A expressão g'(x) é a derivada de g em relação a x. Multiplica-se os dois resultados.

Passo 3

Aplicando isso ao nosso problema, identificamos:
  • função externa f(u)=\cos u, com variável intermediária u;
  • função interna g(x)=\operatorname{sen} x.
Agora calculamos as derivadas elementares que precisamos:
  • Derivada de f em relação a u:
f'(u)=\frac{d}{du}\cos u = -\sin u.
Explicação rápida: a derivada da função cosseno é o negativo do seno; esse é um fato padrão das derivadas trigonométricas (pode-se obter por limites ou por regras conhecidas).
  • Derivada de g em relação a x:
g'(x)=\frac{d}{dx}\operatorname{sen} x = \cos x.
Explicação: a derivada do seno é o cosseno.

Passo 4

Agora aplicamos a regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\cos(\operatorname{sen} x)=f'(g(x))\cdot g'(x).
Substituindo f'(u)=-\sin u com u=g(x)=\operatorname{sen} x, e g'(x)=\cos x, obtemos
F'(x) = -\sin\big(\operatorname{sen} x\big)\cdot \cos x.

Passo 5

Interpretação e checagem rápida: o resultado é um produto entre -\sin(\operatorname{sen} x) (derivada da parte externa avaliada na parte interna) e \cos x (derivada da parte interna). Como verificação simples, para x=0 temos \operatorname{sen}0=0, então
F'(0) = -\sin(0)\cdot\cos 0 = -0\cdot 1 = 0,
o que faz sentido: a função F(x) tem derivada zero em 0 porque ali o seno é zero e o fator -\sin(\operatorname{sen} x) anula o produto.

Resposta

\displaystyle F'(x)=-\sin\big(\operatorname{sen} x\big)\cos x

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