Utilizando a regra da função composta, obtenha a derivada de cada função:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a derivada
.
Informações relevantes do enunciado:
Informações relevantes do enunciado:
- A função é composição de duas funções: uma externa
e uma interna . - Quer-se obter a derivada em relação a
.
Passo 2
Ideia de resolução (sem resolver ainda): para diferenciar uma composição
usa-se a regra da função composta (regra da cadeia). Vou primeiro escrever a regra e explicar o que cada símbolo significa.
Regra da cadeia (forma geral):
Explicando:
é a função externa,
é a função interna. A notação
significa "derivar
em relação à sua variável (digamos
) e depois substituir
". A expressão
é a derivada de
em relação a
. Multiplica-se os dois resultados.
Passo 3
Aplicando isso ao nosso problema, identificamos:
- função externa
, com variável intermediária ; - função interna
.
Agora calculamos as derivadas elementares que precisamos:
- Derivada de
em relação a :
Explicação rápida: a derivada da função cosseno é o negativo do seno; esse é um fato padrão das derivadas trigonométricas (pode-se obter por limites ou por regras conhecidas).
- Derivada de
em relação a :
Explicação: a derivada do seno é o cosseno.
Passo 4
Agora aplicamos a regra da cadeia:
Substituindo
com
, e
, obtemos
Passo 5
Interpretação e checagem rápida: o resultado é um produto entre
(derivada da parte externa avaliada na parte interna) e
(derivada da parte interna). Como verificação simples, para
temos
, então
o que faz sentido: a função
tem derivada zero em
porque ali o seno é zero e o fator
anula o produto.