Nos problemas a seguir, ache a solução geral da equação diferencial dada, encontrando um fator integrante apropriado.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede a solução geral (a solução implícita que contém uma constante arbitrária). Vou listar claramente o que temos e o que se pede:
- A equação está na forma
com e dados abaixo. - O objetivo: encontrar a solução geral implícita
(ou forma equivalente) usando um fator integrante adequado quando necessário.
Passo 2
Identifico as funções
e
:
Explicação rápida do teste de exatidão (para não pular etapas): uma equação
é exata se existir uma função
tal que
e
. Uma condição prática é verificar se
Se essa igualdade não valer, a equação não é exata e podemos procurar um fator integrante
ou
que torne a equação exata.
Passo 3
Calculo as derivadas parciais exigidas pelo teste:
Como
em geral, a equação NÃO é exata.
Passo 4
Procuramos um fator integrante dependente apenas de
, isto é,
. Quero explicar por que usar este caminho: se
, a condição de exatidão para
e
leva a uma equação para
. Desenvolvendo:
como
depende só de
implica
Rearranjando e dividindo por
(assumindo
):
O lado direito deve depender apenas de
para que exista uma
. Portanto calculo esse quociente.
Passo 5
Calculo o quociente indicado:
que depende somente de
. Ótimo — isso garante que existe um fator integrante
. Agora obtenho
resolvendo
Integro ambos os lados:
Logo, escolhendo a constante multiplicativa conveniente, posso tomar
(qualquer múltiplo constante também serve; escolhi a forma mais simples.)
Passo 6
Multiplico a equação original por
. A equação transformada fica
ou seja
Verifico exatidão agora: defino
Então
portanto
e a equação é exata.
Passo 7
Como a equação é exata, existe
tal que
Integro em relação a
, tratando
como constante:
onde
é uma função arbitrária de
(constante de integração em relação a
).
Passo 8
Agora imposto a outra condição
. Calculo
a partir da expressão anterior:
Integro em
:
Substituo em
:
Passo 9
A solução geral implícita da equação exata é
constante. Posso absorver
numa constante geral
. Assim a solução geral fica
Opcionalmente, escrevendo os logaritmos juntos,