Nos problemas a seguir, ache a solução geral da equação diferencial dada, encontrando um fator integrante apropriado.
\cos x d x+\left(1+\frac{2}{y}\right) \operatorname{sen} x d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\cos x\,dx+\left(1+\frac{2}{y}\right)\sin x\,dy=0
e pede a solução geral (a solução implícita que contém uma constante arbitrária). Vou listar claramente o que temos e o que se pede:
  • A equação está na forma M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 com M e N dados abaixo.
  • O objetivo: encontrar a solução geral implícita F(x,y)=C (ou forma equivalente) usando um fator integrante adequado quando necessário.

Passo 2

Identifico as funções M e N:
M(x,y)=\cos x,\qquad N(x,y)=\left(1+\frac{2}{y}\right)\sin x=\sin x+\frac{2\sin x}{y}.
Explicação rápida do teste de exatidão (para não pular etapas): uma equação M\,dx+N\,dy=0 é exata se existir uma função \Phi(x,y) tal que \partial\Phi/\partial x=M e \partial\Phi/\partial y=N. Uma condição prática é verificar se
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Se essa igualdade não valer, a equação não é exata e podemos procurar um fator integrante \mu(x) ou \mu(y) que torne a equação exata.

Passo 3

Calculo as derivadas parciais exigidas pelo teste:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(\cos x\big)=0,
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\sin x+\frac{2\sin x}{y}\right) =\cos x+\frac{2\cos x}{y}=\cos x\!\left(1+\frac{2}{y}\right).
Como 0\neq \cos x\!\left(1+\dfrac{2}{y}\right) em geral, a equação NÃO é exata.

Passo 4

Procuramos um fator integrante dependente apenas de x, isto é, \mu=\mu(x). Quero explicar por que usar este caminho: se \mu=\mu(x), a condição de exatidão para \mu M e \mu N leva a uma equação para \mu. Desenvolvendo:
\frac{\partial}{\partial y}\big(\mu M\big)=\frac{\partial}{\partial x}\big(\mu N\big)
como \mu depende só de x implica
\mu\frac{\partial M}{\partial y}=\mu'\,N+\mu\frac{\partial N}{\partial x}.
Rearranjando e dividindo por \mu N (assumindo N\neq0):
\frac{\mu'}{\mu}=\frac{\partial M/\partial y-\partial N/\partial x}{N}.
O lado direito deve depender apenas de x para que exista uma \mu(x). Portanto calculo esse quociente.

Passo 5

Calculo o quociente indicado:
\frac{\partial M/\partial y-\partial N/\partial x}{N} =\frac{0-\cos x\!\left(1+\dfrac{2}{y}\right)}{\left(1+\dfrac{2}{y}\right)\sin x} =\frac{-\cos x}{\sin x}=-\cot x,
que depende somente de x. Ótimo — isso garante que existe um fator integrante \mu(x). Agora obtenho \mu resolvendo
\frac{\mu'(x)}{\mu(x)}=-\cot x.
Integro ambos os lados:
\ln|\mu(x)|=\int -\cot x\,dx=-\ln|\sin x|+C.
Logo, escolhendo a constante multiplicativa conveniente, posso tomar
\mu(x)=\frac{1}{\sin x}.
(qualquer múltiplo constante também serve; escolhi a forma mais simples.)

Passo 6

Multiplico a equação original por \mu(x)=1/\sin x. A equação transformada fica
\frac{\cos x}{\sin x}\,dx+\left(1+\frac{2}{y}\right)dy=0,
ou seja
\cot x\,dx+\left(1+\frac{2}{y}\right)dy=0.
Verifico exatidão agora: defino
\widetilde{M}(x,y)=\cot x,\qquad \widetilde{N}(x,y)=1+\frac{2}{y}.
Então
\frac{\partial\widetilde{M}}{\partial y}=0,\qquad \frac{\partial\widetilde{N}}{\partial x}=0,
portanto \partial\widetilde{M}/\partial y=\partial\widetilde{N}/\partial x e a equação é exata.

Passo 7

Como a equação é exata, existe \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial\Phi}{\partial x}=\widetilde{M}(x,y)=\cot x.
Integro em relação a x, tratando y como constante:
\Phi(x,y)=\int \cot x\,dx=\ln|\sin x|+h(y),
onde h(y) é uma função arbitrária de y (constante de integração em relação a x).

Passo 8

Agora imposto a outra condição \partial\Phi/\partial y=\widetilde{N}(x,y)=1+\dfrac{2}{y}. Calculo \partial\Phi/\partial y a partir da expressão anterior:
\frac{\partial\Phi}{\partial y}=h'(y)=1+\frac{2}{y}.
Integro em y:
h(y)=\int\left(1+\frac{2}{y}\right)dy=y+2\ln|y|+C_1.
Substituo em \Phi:
\Phi(x,y)=\ln|\sin x|+y+2\ln|y|+C_1.

Passo 9

A solução geral implícita da equação exata é \Phi(x,y)= constante. Posso absorver C_1 numa constante geral C. Assim a solução geral fica
\ln|\sin x|+y+2\ln|y|=C.
Opcionalmente, escrevendo os logaritmos juntos,
\ln\!\big(|\sin x|\,y^{2}\big)+y=C.

Resposta

\ln|\sin x|+y+2\ln|y|=C

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