Seja V=\mathbb{R}^{3} munido do produto interno usual e S=\langle(1,2,-3),(2,-4,2)\rangle. Determinar S^{\perp}.

Passo 1

O enunciado define V=\mathbb{R}^{3} com o produto interno usual e o subespaço
S=\langle(1,2,-3),\,(2,-4,2)\rangle.
Queremos encontrar
S^{\perp}=\{v\in\mathbb{R}^{3}\mid \langle v,u\rangle=0\;\forall\,u\in S\}.
Para isso, basta achar todos os vetores v=(x,y,z) que sejam ortogonais a cada gerador de S, montando um sistema de equações lineares.

Passo 2

Seja v=(x,y,z). A condição \langle v,(1,2,-3)\rangle=0
x + 2y - 3z = 0,
e a condição \langle v,(2,-4,2)\rangle=0
2x - 4y + 2z = 0.

Passo 3

Resolvendo o sistema
\begin{cases} x + 2y - 3z = 0,\\\\ 2x - 4y + 2z = 0, \end{cases}
da primeira equação obtemos x = -2y + 3z. Substituindo na segunda:
2(-2y+3z) - 4y + 2z = -4y + 6z - 4y + 2z = -8y + 8z = 0 \;\Longrightarrow\; z = y.
Logo x = -2y + 3y = y.

Passo 4

Concluímos que todo vetor em S^{\perp} tem a forma
v = (x,y,z) = (y,y,y) = y\,(1,1,1).
Ou seja, S^{\perp} é o subespaço unidimensional gerado por (1,1,1).

Resposta

S^{\perp} = \langle(1,1,1)\rangle.

Exercícios relacionados