Seja
subespaço do
com o produto interno usual. Seja
.
(a) Ortonormalizar o conjunto
.
(b) Completar o conjunto
de modo a transformá-lo numa base ortogonal de
.
(a) Ortonormalizar o conjunto
(b) Completar o conjunto
Passo 1
O enunciado define o subespaço
e o conjunto
Em (a) vamos aplicar Gram–Schmidt para obter um conjunto ortonormal
com
. Em (b) precisamos encontrar um vetor
ortogonal a
e a
, completando
para uma base ortogonal de
.
Passo 2
Calcular
. Temos
logo
Passo 3
Calcular
. Primeiro projetamos
sobre
:
Como a projeção é zero,
já é ortogonal a
. Então
e
Passo 4
Completar para base ortogonal de
. Procuramos
tal que
e
. Escrevendo:
Dessas equações segue
e
, ou seja
e
. Tomando
para evitar frações, obtemos
que é ortogonal a
e
e pertence a
.
Resposta
(a) Uma ortonormalização de
é
(b) Um vetor que completa
em base ortogonal de
é
de modo que
é uma base ortogonal de
.