Seja S=\{(x, y, z,-2 x+4 y+5 z): x, y, z \in \mathbb{R}\} subespaço do \mathbb{R}^{4} com o produto interno usual. Seja A=\{(1,2,-1,1),(2,-1,2,2)\} \subset S.
(a) Ortonormalizar o conjunto A.
(b) Completar o conjunto A de modo a transformá-lo numa base ortogonal de S.

Passo 1

O enunciado define o subespaço
S=\{(x,y,z,-2x+4y+5z)\mid x,y,z\in\mathbb R\}\subset\mathbb R^4
e o conjunto
A=\{\,a_1=(1,2,-1,1),\;a_2=(2,-1,2,2)\}\subset S.
Em (a) vamos aplicar Gram–Schmidt para obter um conjunto ortonormal \{e_1,e_2\} com \span\{e_1,e_2\}=\span A. Em (b) precisamos encontrar um vetor v_3\in S ortogonal a a_1 e a a_2, completando A para uma base ortogonal de S.

Passo 2

Calcular e_1. Temos
\|a_1\|^2=1^2+2^2+(-1)^2+1^2=7,
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e_1=\frac{a_1}{\|a_1\|}=\frac{1}{\sqrt7}(1,2,-1,1).

Passo 3

Calcular e_2. Primeiro projetamos a_2 sobre e_1:
\langle a_2,e_1\rangle =\frac{1}{\sqrt7}\bigl(2\cdot1+(-1)\cdot2+2\cdot(-1)+2\cdot1\bigr) =\frac{2-2-2+2}{\sqrt7}=0.
Como a projeção é zero, a_2 já é ortogonal a a_1. Então
u_2=a_2,\qquad \|u_2\|^2=2^2+(-1)^2+2^2+2^2=13,
e
e_2=\frac{u_2}{\|u_2\|} =\frac{1}{\sqrt{13}}(2,-1,2,2).

Passo 4

Completar para base ortogonal de S. Procuramos
v=(x,y,z,-2x+4y+5z)\in S
tal que \langle v,a_1\rangle=0 e \langle v,a_2\rangle=0. Escrevendo:
\langle v,a_1\rangle = x+2y -z +1(-2x+4y+5z) =-x+6y+4z=0,
\langle v,a_2\rangle =2x -y +2z +2(-2x+4y+5z) =-2x+7y+12z=0.
Dessas equações segue x=6y+4z e -5y+4z=0, ou seja z=\tfrac54y e x=11y. Tomando y=4 para evitar frações, obtemos
v_3=(44,4,5,\,-2\cdot44+4\cdot4+5\cdot5) =(44,4,5,-47),
que é ortogonal a a_1 e a_2 e pertence a S.

Resposta

(a) Uma ortonormalização de A é
e_1=\frac{1}{\sqrt7}(1,2,-1,1), \qquad e_2=\frac{1}{\sqrt{13}}(2,-1,2,2).
(b) Um vetor que completa A em base ortogonal de S é
v_3=(44,4,5,-47),
de modo que \{(1,2,-1,1),\,(2,-1,2,2),\,(44,4,5,-47)\} é uma base ortogonal de S.

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