Seja
. Represente um elemento arbitrário
de
como soma:
de um vetor do plano
com outro do plano
;
de um vetor do plano
Passo 1
O enunciado dá o espaço vetorial
e pede que eu represente um vetor arbitrário de
como soma de um vetor do plano
com um vetor do plano
. Vou deixar explícito o que isto significa e quais são os dados:
- Um elemento arbitrário de
escrevo como com . - O plano
é o conjunto dos vetores de cuja coordenada vale zero. - O plano
é o conjunto dos vetores de cuja coordenada vale zero.
A tarefa é encontrar vetores(no plano ) e (no plano ) tais que .
Passo 2
Vou descrever com precisão os dois planos e dar bases simples para eles (isso ajuda a ver que tipos de vetores cada plano contém).
- Plano
: por definição é . Uma base conveniente é . - Plano
: por definição é . Uma base conveniente é .
Explicação didática: dizer que um vetor está no planosignifica que sua segunda coordenada (a coordenada ) é zero; dizer que está no plano significa que sua primeira coordenada (a coordenada ) é zero.
Passo 3
Agora tento escrever
como soma
com
no
e
no
. Faço uma escolha direta e simples:
- tomo
. Note que está no porque a coordenada é zero. - tomo
. Note que está no porque a coordenada é zero.
Somando:
Logo essa é uma decomposição válida de
como soma de um vetor do plano
e um vetor do plano
.
Passo 4
Pequena observação didática sobre unicidade: a decomposição acima funciona, mas não é a única possível. Para ver isso de forma geral, escolha qualquer parâmetro
e defina
Então
Isto mostra que há infinitas decomposições, porque os planos
e
têm interseção não trivial:
, que é o eixo
. Quando a interseção é maior que
, a decomposição não é única; se a interseção fosse só
, a decomposição seria única (caso de soma direta).
Passo 5
Recapitulando de forma prática (jeito que provavelmente usam na prova): dado
, uma representação simples é
onde o primeiro termo pertence ao plano
e o segundo pertence ao plano
.