Seja V=\mathbb{R}^{3}. Represente um elemento arbitrário v de V como soma:
de um vetor do plano x z com outro do plano y z;

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial V=\mathbb{R}^{3} e pede que eu represente um vetor arbitrário de V como soma de um vetor do plano xz com um vetor do plano yz. Vou deixar explícito o que isto significa e quais são os dados:
  • Um elemento arbitrário de V escrevo como \,v=(x,y,z)\, com x,y,z\in\mathbb{R}.
  • O plano xz é o conjunto dos vetores de \mathbb{R}^{3} cuja coordenada y vale zero.
  • O plano yz é o conjunto dos vetores de \mathbb{R}^{3} cuja coordenada x vale zero.
    A tarefa é encontrar vetores u (no plano xz) e w (no plano yz) tais que \,v=u+w.

Passo 2

Vou descrever com precisão os dois planos e dar bases simples para eles (isso ajuda a ver que tipos de vetores cada plano contém).
  • Plano xz: por definição é \{(a,0,c)\mid a,c\in\mathbb{R}\}. Uma base conveniente é \{(1,0,0),(0,0,1)\}.
  • Plano yz: por definição é \{(0,b,c)\mid b,c\in\mathbb{R}\}. Uma base conveniente é \{(0,1,0),(0,0,1)\}.
    Explicação didática: dizer que um vetor está no plano xz significa que sua segunda coordenada (a coordenada y) é zero; dizer que está no plano yz significa que sua primeira coordenada (a coordenada x) é zero.

Passo 3

Agora tento escrever \,v=(x,y,z)\, como soma \,u+w com u no xz e w no yz. Faço uma escolha direta e simples:
  • tomo \,u=(x,0,0)\,. Note que u está no xz porque a coordenada y é zero.
  • tomo \,w=(0,y,z)\,. Note que w está no yz porque a coordenada x é zero.
    Somando:
u+w=(x,0,0)+(0,y,z)=(x,y,z)=v.
Logo essa é uma decomposição válida de v como soma de um vetor do plano xz e um vetor do plano yz.

Passo 4

Pequena observação didática sobre unicidade: a decomposição acima funciona, mas não é a única possível. Para ver isso de forma geral, escolha qualquer parâmetro t\in\mathbb{R} e defina
u_t=(x,0,t)\in xz,\qquad w_t=(0,y,z-t)\in yz.
Então
u_t+w_t=(x,0,t)+(0,y,z-t)=(x,y,z)=v.
Isto mostra que há infinitas decomposições, porque os planos xz e yz têm interseção não trivial: xz\cap yz=\{(0,0,c)\mid c\in\mathbb{R}\}, que é o eixo z. Quando a interseção é maior que \{0\}, a decomposição não é única; se a interseção fosse só \{0\}, a decomposição seria única (caso de soma direta).

Passo 5

Recapitulando de forma prática (jeito que provavelmente usam na prova): dado \,v=(x,y,z)\,, uma representação simples é
v=(x,0,0)+(0,y,z),
onde o primeiro termo pertence ao plano xz e o segundo pertence ao plano yz.

Resposta

\displaystyle (x,y,z)=(x,0,0)+(0,y,z)

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