Seja V=\mathbb{R}^{3}. Represente um elemento arbitrário v de V como soma:
de um vetor do plano y=z com outro do eixo z.

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial V=\mathbb{R}^3 e pede: para um vetor arbitrário v\in V, representar v como soma de um vetor que pertence ao plano dado por y=z e de um vetor que pertence ao eixo z.
Informações fornecidas (explicitadas):
  • Um elemento arbitrário de V tem a forma (x,y,z) com x,y,z\in\mathbb{R}.
  • O plano y=z é o conjunto de vetores cujas segunda e terceira coordenadas são iguais.
  • O eixo z é o conjunto de vetores que têm primeiras duas coordenadas nulas e só podem ter componente na terceira coordenada.

Passo 2

Descrever matematicamente os dois subespaços que aparecem:
  • Plano S=\{(a,b,c)\in\mathbb{R}^3 \mid b=c\}. Podemos parametrizar S escrevendo qualquer vetor de S na forma
(a,b,b),
onde a,b\in\mathbb{R}.
  • Eixo Z=\{(0,0,t)\in\mathbb{R}^3 \mid t\in\mathbb{R}\}.
    Isto é só reescrever em forma explícita o que significa y=z e o que significa "eixo z".

Passo 3

Procuramos escrever um vetor arbitrário v=(x,y,z) como soma
v = u + w,
com u\in S e w\in Z. Usando as parametrizações acima, tome
u=(a,b,b),\qquad w=(0,0,t),
com a,b,t\in\mathbb{R}. A igualdade v=u+w dá, componte a componente, o sistema
\begin{cases} x = a + 0 = a,\\[4pt] y = b + 0 = b,\\[4pt] z = b + t. \end{cases}
Aqui escrevemos componente a componente para que fique claro como igualar coordenadas — é a forma direta de resolver esse tipo de decomposição.]

Passo 4

Resolver o sistema obtido: das duas primeiras equações segue imediatamente
a = x,\qquad b = y.
Substituindo na terceira equação obtemos
z = y + t \quad\Rightarrow\quad t = z - y.
Portanto uma escolha (e a solução) é
u=(a,b,b)=(x,y,y),\qquad w=(0,0,t)=(0,0,z-y).

Passo 5

Verificação rápida: somando u e w
(x,y,y)+(0,0,z-y)=(x,y,y+z-y)=(x,y,z),
ou seja, recupera-se v. Assim a decomposição funciona para qualquer v=(x,y,z).
Observação sobre unicidade (útil para prova/entendimento): se houvesse outra decomposição v=u'+w' com u'\in S e w'\in Z, então u-u' = w'-w estaria ao mesmo tempo em S e em Z. O único vetor em S\cap Z é o vetor nulo, pois S\cap Z=\{(0,0,0)\}. Logo a decomposição é única.

Resposta

(x,y,z) = (x,y,y) + (0,0,z-y)

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