Seja V=\mathbb{R}^{4} e W=[(1,1,0,0),(1,1,1,1)].
Determinar \operatorname{proj}_{W} v, onde v=(1,-1,1,-1).

Passo 1

O enunciado pede a projeção ortogonal de v=(1,-1,1,-1) sobre o subespaço
W=\operatorname{span}\{u_1,u_2\},
onde
u_1=(1,1,0,0),\quad u_2=(1,1,1,1).
O conteúdo é projeção em espaços euclideanos: podemos usar a fórmula
\operatorname{proj}_{W}v = U\,(U^TU)^{-1}U^T v,
em que U é a matriz cujas colunas são u_1 e u_2. Precisamos então calcular os produtos internos para montar a matriz de Gram G=U^TU e o vetor b=U^T v.

Passo 2

Calcular os elementos de G:
\langle u_1,u_1\rangle = 1^2+1^2+0^2+0^2 = 2,
\langle u_1,u_2\rangle = 1\cdot1 + 1\cdot1 + 0\cdot1 + 0\cdot1 = 2,
\langle u_2,u_2\rangle = 1^2+1^2+1^2+1^2 = 4.
Logo,
G = U^TU = \begin{pmatrix}2 & 2\\\\ 2 & 4\end{pmatrix}.

Passo 3

Calcular os elementos de b=U^Tv:
\langle v,u_1\rangle = 1\cdot1 + (-1)\cdot1 + 1\cdot0 + (-1)\cdot0 = 0,
\langle v,u_2\rangle = 1\cdot1 + (-1)\cdot1 + 1\cdot1 + (-1)\cdot1 = 0.
Assim,
b = \begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix}.

Passo 4

Resolvendo o sistema de coeficientes G\,c = b, temos
\begin{pmatrix}2 & 2\\\\ 2 & 4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}c_1\c_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix} \quad\Longrightarrow\quad c_1 = 0,\;c_2 = 0.

Passo 5

A projeção é
\operatorname{proj}_{W}v = c_1\,u_1 + c_2\,u_2 = 0\cdot u_1 + 0\cdot u_2 = (0,0,0,0).

Resposta

(0,0,0,0)

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